178 



het, som ger oss medel i handen att, då läget af linien AB är gif- 

 vet bestämma krokliniens mot samma läge svarande rigtning. 

 2:o Då linien stödjer sig med sina båda ändpunkter på ytor, hvilkas 

 eqvationer äro 



L = f(x,y,z) = 0, 

 M = (f(x l ,y x ,% l ) = 0. 



A. På ett med det föregående analogt sätt finna vi, att nödvändiga 

 följden af liniens j em vigt är 



2 (Xåx + Yöy + Z§z + A\åx l + Y x Sy x 4- Z x 8z x ) = 0, 



der 8x, dy, 8z, 8x x , 8y x , 8z x tagas ur eqvationerna 



— 8x + — dy + -j- öz = O , 

 ax dy dz 



-— - 8x x + —- 8y x + -j— 8z x = , 

 dx x l d.y l l a* t 



(21) 



(^-^(^-to) + {y x -y){8y x -8y) + &— »X^-cfe) = . . (22) 



B. Om åter 



2 {XÖx + Y8y + Zöz + X x 8x x + Y x 8y x + Z^äJ = 0, .. (23) 



så är linien i jemvigt. Ty om den icke vore i jemvigt, så skulle den 

 komma att röra sig på tvenne kroklinier, hvilkas eqvationer tydligen 

 böra vara af formen 



L =f(x,y,z) = 0, 



Li= fx( x ,y> % ) = ° 



och 



M= y{x l ,y x ,z l ) = 0, 



M x = 5p l (^ 1 ,?/ l ,2i l ) = 0, 



emedan de äro linier i ytorna L — och M ■= . Enligt det i § 

 (6) framställda lemma måste då också linien komma i rörelse, om 

 dess ändpunkter i stället för att tillhöra ytorna tillhöra nyssnämnda 

 kroklinier. Men nu är detta omöjligt, ty eqvationen (23) är sann för 

 alla möjliga värden på differentialerna, om blott dessa tagas ur eqva- 

 tionerna (21) och (22), och således a fortiori sann för alla de diffe- 

 rentialer, som kunna fås ur eqvationerna 



