184 



Nödvändiga och tillräckliga vilkoret för jemvigt hos en linie, 

 hvars ändpunkter äro fullkomligt fria, är följaktligen, att 



2{Xdx + Yöy + Zå% + X x 6x x ¥ }\åy x + Z x dz x ) = 



satisfieras, då differentialerna tagas ur eqvationen 



(x—x x )(åx—dx x ) + (y—y x )(åy—åy x ) + (z—z x )(å-z—åz- x ) = 0. 



Anmärkning. 



Hvad förut vid (3) och (4) blifvit anmärkt gäller äfven här, 

 och i enlighet med sistnämnda obs. ligger den punkt x x + åx x , 

 ?/i + Sy x , z x + dz x , som motsvarar den godtyckligt valda punkten 

 x + dx, y + Sy, z + Sz, hvar som helst i ett plan, hvilket är vin- 

 kelrätt mot den af krafter angripna linien och beläget på ett af- 

 stånd från den sistnämnde punkten, som är lika med liniens 

 längd l. 

 Nödvändiga men också tillräckliga vilkoret för jemvigt hos en linie 

 är äfven i följande trenne fall, att summan af alla med ändpunkter- 

 nas rörelse och inbördes samband förenliga virtuella momenter är 

 noll. 



4:o Då liniens ena ändpunkt hvilar på en yta, hvars eqvation är 



L = f(x,y,z) = 0, 

 och den andra på en curva 



M = (p(x xi y x ,z x ) =0, 



M i= 9i(^i»y 15 z i) = 0. 

 Beviset så, som i första händelsen. 



5: o Då liniens ena ändpunkt är fri och den andra tillhör en curva, 

 hvars eqvationer äro 



L = f(x, y, z) = 0, 



Lx=fxi x , y, *) = o. 



A. Beviset så, som i första händelsen. 



B. Om 



2 (.Yåx + Yöy + ZÖz + Å\åx l + l\dy x + Z x åz x ) = 



är sann för alla värden på differentialerna, som kunna fås ur eqva- 

 tionerna 



