205 



för alla de differentialer, som kunna fås ur eqvationerna 



fy» = /'nOn)<?*n, 1 



\ ( 54 ) 



ÖX n = y' n («„)<?»„ . J 



Taga vi nu differentialerna samtidigt ur eqvationerna (50), (52), (54), 

 så bör för de värden, vi på dem erhålla, venstra membrum i hvar 

 och en af eqvationerna (49), (51), (53) blifva lika med noll, och så- 

 ledes äfven summan af dessa membra reducera sig till noll. Men med 

 stöd af de båda sista eqvationerna i (52) blir summan af dessa 



2 {xdx + ... + Xjx n + Yåy 4- ... + Vjy n + Zå-z- + ... + Zjz n } . 



Denna summa måste således vara noll för alla de differentialer, som 

 samtidigt erhållas ur eqvationerna (50), (52), (54). Observera vi nu, 

 att differentialerna $£, dt], S£ icke ingå i den ifrågavarande summan, 

 så inse vi lätt, att 



2 [X8x + . . + X a åx a + ¥åy + . . 4- Vjy n + ZSz + .. + Zjz n } = . . (55) 



måste satisfieras af de differentialer, som samtidigt fås ur eqvationer- 

 na (48). 



Vi hafva således genomfört vårt bevis under den förutsättning, 

 att det, som skulle bevisas om ett system af n+1 punkter, gäller 

 för ett system af n punkter. Hvad nu denna förutsättning beträffar, 

 så visades redan i föregående paragraf, att, om ett system af tvenne 

 punkter är i jemvigt, så är summan af de på dessa punkter anbragta 

 krafters virtuella momenter noll. Enligt beviset i denna paragraf måste 

 således sak samma gälla om ett system af tre punkter, på grund här- 

 af äfven om fyra o. s. v. ända till och med (n + 1). 



B. Om åter eqvationen (55) satisfieras af alla de värden på differen- 

 tialerne , som samtidigt kunna tagas ur eqvationerna (48 , så är punkt- 

 systemet i jemvigt. Ty vore det icke i jemvigt, så skulle för denna 

 behöfvas, att man applicerade till t. ex. den första punkten en ny 

 kraft af passande storlek och rigtning. Antag, att så förhåller sig, 

 inför en kraft K och kalla de vinklar, som denna gör med positiva 

 coordinataxlarna, «, p?, /. Numera är systemet med all säkerhet i 

 jemvigt och tillfölje häraf 



2 {XÖx + .. + X n Sx n + YÖy + .... } + K {Cosa&r + Cos/% + CosyJz-} = O 

 samt således äfven på grund af vårt första antagande 



K {CosaSx + Cos/3d// + CosyJc} = 0. 



is 



