Gcometr. Kalkyl. 7 



rien. För att ytterligare häfda vår rättighet till uppställandet af detta 

 likhetsbegrepp, tillämpa vi på likheten (1) tvenne kända axiomatiska 

 satser: 



I. Om man lägger lika till lika, så bli summorna lika; det vill 

 här säga, om man till qvantiteter, som fixera samma punkt och äro 

 hänförda till lika grundbestämningar, lägger qvantiteter, som fixera 

 samma punkt och äro hänförda till lika grundbestämningar, (då 

 nämligen plan, grundriktning och enhet äro lika hos de förra och sed- 

 nare qvantiteterna), så skola summorna fixera samma punkt och vara 

 hänförda till lika grundbestämningar. Ty om till R r= r + r , 



fixerande punkten C från O, lägges A^ = a + a' , fixerande C, från 



1 t tf 



C, då nämligen A, r = C G n a = CD. och a' = D,C n så äro 

 summorna lika, såsom fixerande samma punkt C, från O eller: 



R v + A^ = r + r + a. +. a. . . . . (2). 

 Jr l p p, t t, ' 



Denna sats innebär, såsom lätteligen inses, endast en reduktion 

 af likheten A rp = a + a', till ett nytt origo O fråu dess förra 



origo C 



II. Om man mångfaldigar lika ett lika antal gånger, så bli de 

 mångfaldigade lika; det vill här säga: om man mångfaldigar geome- 

 triska qvantiteter, som fixera samma punkt och äro hänförda till 

 lika grundbestämningar ett lika antal gånger, så skola de mång- 

 faldigade qvantiteterna fixera samma punkt och varda hänförda till 

 lika grundbestämningar. Således, om vi t. ex. mångfaldiga qvantite- 

 terna i likheten (1) m gånger d. v. s. m . R p och m . lr -\- r \, så 



skall visas att de mångfaldiga qvantiteterna äro lika, d. v. s. 



m . R = m . lr + r' \. Ty om vi m gånger mångfaldiga hvarje 

 i- \ p pil 



sida uti triangeln O D C, således m . R „, m . r och m . r , så för- 

 b P p p, 



blir triangeln tydligen sluten (Eucl. VI: 5), då således qvantiteten 



m . R „ och summan m . r + m . r' fixera samma punkt och fortfara 

 lr V V* 



dertill att vara hänförda till lika grundbestämningar, d. v. s. m.R p = 



m . r + m . r' . Emedan vidare en mångfaldig af en summa är = 

 p P, e e 



summan af samma mångfaldig af delarna (Eucl. V: 1), så följer deraf : 



m . M „ == m . lr + r' \ = m . r + m . r' . . . (3) 



P \ p p,J p p, v ' 



(3) gäller tydligen likaväl, då m är ett brutet, som då m är ett 

 helt tal. 



