10 



G. Dillncr. 



d. v. s. samman af tvenne geometriska qvantiteter, som ha samma 

 riktning, är = arithmetiska summan af deras storlekar med deras 

 gemensamma riktning. 



Samma lag gäller tydligen för huru många summander som helst. 



Detta inses ock omedelbart genom konstruktion. Ty den geome- 

 triska qvantitet, som skall fixera samma punkt, som summan af tvenne 

 andra geometriska qvantiteter med samma riktning, kan till storleken 

 icke vara annat än arithmetiska summan af deras storlekar och till 

 riktningen icke annat än deras gemensamma riktning. 



II. Låt a mellan r och r' vara spetsig, då enligt Eucl. II: 13: 



BT- = r 1 + r" 1 - 2r . B D (5) 



Här gäller samma räsonnemang som i 

 I. Tänka vi oss derföre en spetsvinklig 

 triangel, der a skiljer sig på oändligt litet 

 från 0°, så skiljer sig BD på oändligt litet 

 från r, då r och r' äro ändliga; och då 

 a = o°, så är B D = r\ hvaraf följer med 

 stöd af Eucl. II: 7: 



B? = r 1 + r" 1 — 2r.r' = (r — r') 2 

 då vi antaga r > r\ då således: 



B = (r — r') 

 som, betraktad i riktningen p, blir: 



B = (r — r') 



(6). 



Likheten (1) är nu, emedan B — p och p, = p + n\ 



B = r + r' 



p p p + 71 



som, sammanställd med (6), ger: 



B + r' = (r — r') 



p p+7t K > 



Ar deremot r > r, så få vi i stället för (5): 

 B? = r- + r" 1 — 2r' .BD 



(7). 



(8) 





der för a = o° BD är — r och således : 



B = (r — r) 

 som, betraktad i riktningen p + n, blir: 

 B = (r' — r) , . . . (9). 



Likheten (1) är nu, emedan P=p +n 



och p = p + n: 



