Geonietr. Kalkyl. 65 



tv 



(Ä J + Y 2 +Z*)h = (r 2 + 2rr'[CoBp Cosp, + Sinp Sin p, Cos (/,-*)] + »" 2 )2 

 . + V I" 2 4- Z 2 , ± V»- 2 öin 2 » + 2rr'Siti»Sin»,Cos(^ — /D+r^Sin 2 », 



arctg 5 — = arctg - ~ — , ' — 



° A r Cos jj -f r Cos p, 



C(15). 



, Z r Sin p Sin t + r' Sin p, Sin t, 



arctg T , = arctg g . „ , , — - - c . ,, . 



° I ° r Sinp Cos/ + r' Sm p, Cos/, 



I (15) ha vi således uttryckt ifrågavarande summa i en enda 

 geometrisk qvantitet af formen (i2p) • 



Med stöd af (3) kunna vi här, liksom i N:o 7 (5), omedelbart 

 ur (15) härleda ett enklare uttryck för planvinkeln. Vi finna nämligen : 



t ', O t, — { t 



1 



■1 



=H )" +v 



7 arctg _ 



r Cosp-f- r'Cosp, 



, r'Smp,Rin«,-n * ', ' (l6) * 



arctg -,,. — , yo . — j—z — « + t 



° rSmp + ?'\Sinp,Cos(/, — t) 



Planvinkeln, som representeras af arctg =, eller närmare uttryckt, 

 af arctg t^?^^^ i (15) eller arctg r Si »^ n( ''-" + t 



° rS]npCos/ + 7-'Sinp / Co.s/, v ' ö rS.np + ?-,Sinp,Cos(/, t) 



i (16), är här, liksom i N:o 7 (3), (4) och (5), fullt bestämd af täl- 

 jarens och nämnarens positiva eller negativa tecken. Gränsvärdena 

 för planvinkeln innefatta således mellan sig alla fyra qvadranterna 

 eller hela omkretsen 2co. Enligt satsen 8 kan derföre den båge, som 



representeras af arctg " — -, vara inskränkt inom gränsorna af 



l:sta och 2:dra eller ock inom gränserna af 3:dje och 4:de qvadran- 

 terna, hvilka tvenne fall motsvaras, som vi se, af den positiva och 



negativa roten i arctg ~ - — x~~~' R^na v * derföre vår planvinkel 



från till 2co, så ega vi att använda den positiva roten; räkna vi 

 deremot planvinkeln från to till 3 oj, d. v. s. betrakta vi planet 



Z 



arctg -^ i dess negativa läge, så ega vi att använda den negativa 



roten. Riktigheten af detta inses föröfrigt på grund af (1), samt der- 



— ■*/ — ■*/ — 



af att alltid arctg ~ — = + arctg -jfr-, då nämligen bågen enligt 



ofvan inskränkes mellan gränsorna och ± n\ då således: 



