Uber asymptotische Bildfehler 

 F. Lenz 



Institut fiir Elektronenoptik unci Feinniechanik der Technischen Hochschule Aachen und 

 Rheinisch- Westfdlisches Instiliit fiir Vbennikroskopie, Diisseldorf 



FiJR den elektronenoptischen Abbildungsmasstab in 

 einem zweistufig abbildenden System aus zwei Lin- 

 sen (beispielsweise Objektiv- und Projektivlinse eines 

 Elektronenmikroskops) gilt [8] 



M = Mi-M2 



7 y 



(1) 



wenn hi der Abstand der Zwischenbildebene vom 

 Objektiv, h-, der Abstand der Endbildebene vom 

 Projektiv, / die Brennweite des Objektivs und v die 

 asymptotische Brennweite (auch als ,,VergroBe- 

 rungsweite** oder ,,virtuelle Brennweite'' bezeichnet) 

 des Projektivs ist. Der Abbildungsmasstab M. = h-Jv 

 des Projektivs errechnet sich also nach einem anderen 

 Gesetz als der Abbildungsmasstab A/j = bi/f des 

 Objektivs. Durch die Unterscheidung zwischen 

 asymptotischer Brennweite v und gewohnlicher 

 Brennweite / wird beriicksichtigt, daB die Elektro- 

 nenbahnen im Feld des Projektivs schon gekriimmt 

 werden, bevor sie die Zwischenbildebene erreicht 

 haben. In Projektivlinsen, die so schwach sind, daB 

 ihr Zwischenbild praktisch bereits im feldfreien 

 Raum liegt, ist die Unterscheidung der asymptoti- 

 schen Brennweite von der gewohnlichen Brennweite 

 nicht notig. 



Ahnlich wie bei der Berechnung des gesamten 

 Abbildungsmasstabs eines Systems aus mehreren 

 Linsen steht es bei der Berechnung des Bildfehlers 

 solcher Systeme. Der gesamte Bildfehler eines 

 Systems aus zwei Linsen (beispielsweise Objektiv- 

 und Projektivlinse eines Elektronenmikroskops) 

 folgt nicht in einfacher Weise aus den Bildfehlern 

 der einzelnen Linsen, wenn diese wie iiblich [4] 

 durch die Bildfehlerkoeffizienten im System mit 

 Blende oder im System ohne Blende gekennzeichnet 

 werden. Fiir den Bildfehler der Objektivlinse gilt 

 beispielsweise im blendenfreien System 



w. 



+ (Fq - //o) Wo^ Wo + (^0 I ^o) "o "o "o 

 + (Cq ^- / Cq) m'o Mo + (Eo + i e^) ul u^ , 



(2) 



wenn die komplexen Koordinaten u„= Xn+ / vd und 

 Uo = idx/dz)zo + i(dy/dz)zo DurchstoBpunkt und 

 DurchstoBrichtung der Elektronenbahn durch die 

 Objektebene z = Zo kennzeichnen, //, der Durch- 

 stoBpunkt der Bahn durch die zu Zo konjugierte 

 Bildebene z = Zi, Vo die ObjektivvergroBerung und 

 Bo, Co, Do ... die Bildfehlerkoeffizienten des Ob- 



jektivs im blendenfreien System sind. Daraus folgt 

 in Seidelscher Dioptrik «i. In ahnlicher Weise laBt 

 sich auch u[ als Funktion von //„ und //o ausdriicken. 

 Es ware nun aber nicht richtig, bei der Bildfehler- 

 berechnung fiir das Projektiv die aus (2) folgenden 

 Werte von Ui und die entsprechenden Werte von u'l 

 fiir den DurchstoBpunkt iip und die DurchstoBrich- 

 tung u'p durch die Zwischenbildebene einzusetzen 

 und damit aus der fiir das Projektiv gultigen, der 

 Gleichung (2) entsprechenden Gleichung 



Mo 



- Up = Bp u'p Up + 2 (Fp + ifp) Up Up Up + 



+ {Fp - ifp) u'p Up + {Dp + Cp) Up Up Up 

 + {Cp + icp) Mp Up + {Ep + icp) ul Up 



(3) 



den AuftrefFpunkt u-. der Elektronenbahn in der 

 Endbildebene zu berechnen. Wegen der Kriimmung 

 der Elektronenbahnen im Projektivfeld vor Erreichen 

 der Zwischenbildebene stimmen namlich die aus (2) 

 folgenden Koordinaten m,, u[ nicht mit Up, u'p uberein. 

 Nur in Projektivlinsen, die so schwach sind, daB ihr 

 Zwischenbild praktisch bereits im feldfreien Raum 

 liegt, ist es niiherungsweise eriaubt, Up und u'p durch 

 Ul und u'l zu ersetzen. Will man im Fall starker 

 Projektivlinsen die Bildfehlereigenschaften des Pro- 

 jektivs in einer Weise kennzeichnen, die auch das 

 Projektivfeld auBerhalb der Zwischenbildebene be- 

 riicksichtigt, so emptiehit sich die Einfiihrung des 

 Begriffs der ,,asymptotischen Bildfehlerkoeffizien- 

 ten", die die Abhangigkeit von Lage und Richtung 

 der Ausfallsasymptoten von Lage und Richtung der 

 Einfallsasymptoten kennzeichnen. 



Es seien s(z) und t(z) zwei linear voneinander 

 unabhiingige Losungen der achsennahen Bahnglei- 

 chung (wir beschriinken uns im folgenden aufmagne- 

 tische Linsen, da fiir elektrostatische die Unter- 

 scheidung der asymptotischen KenngroBen von den 

 gewohnlichen im allgemeinen nicht interessiert, well 

 sich die Brennebene auBerhalb des eigentlichen 

 Linsenfeldes befindet) 



nut 





eB 



8 /;;„ U* 



Biz) 



zin V 



(4) 

 (5) 



und M(r)-.v(r)r /.)'(-) die komplexe Koordinate 

 im gedrehten Koordinatensystem, so hat die Bahn- 

 gleichung dritter Ordnung 



