118 LES ÉQUATIONS DU PRINCIPE DE RELATIVITÉ 



Pour bien comprendre ces formules (1), dans leur signitication 

 vraie, posons un problème, et demandons-nous ce que doit être 

 la transformation pour que, conformément aux idées ordinai- 

 res, le milieu K géomètre K' de la même manière que K' se 

 géomètre lui-même? 



Ditîerentions les formules (1) à temps constant, c'est-à-dire 

 sous la condition dt = 0; il vient alors, pour la correspondance 

 de deux petits vecteurs (dx, dy, dz) et (dx, dy , dz) observés 

 respectivement par K et K', des formules telles que 



i\x = rt,, âx' + «,v dij' + rt,., dz , 



dy — (i-ji dx' -\- a.j., dy' -\- a-,?, d^' , '2) 



dz = rt:,, dx' + «:;:> dy' + (7.,.; dz' . 



La condition d'invariance se réduit à l'égalité des longueurs 

 correspondantes, ou 



dx"- + dy'- + dz- = dx' + dy'- + dz'- , (3) 



équation qui montre que le système des aij est orthogonal. Mais 

 les seconds membres des relations (2) doivent être intégrables; 

 donc les aij ne peuvent contenir les coordonnées x, y', z, ce 

 seront de simples fonctions du paramètre t. 



Prenons maintenant les ditt'érentielles complètes des formu- 

 les (1); on a, par exemple, pour la première 



d ix - c(,, X - a,2 y - Uy, *" ) = ( 3^ " 'ï- "^ - 2/ if ^ ^ W I ' 



ainsi la parenthèse x — a^^ x — «j. y' — «13 z ne peut dépendre 

 que du temps, le second membre ne contenant que la dittéren- 

 tielle dt. La forme des relations cherchées sera donc 



X = a,, x' + rt,o y' 4- a,:; ;' f a , 1 



y = a.2i x' + a.,., y' + «o;; z' + fi , > (4) 



z = aa, x' + «32 y' + «33 ^' + y , ) 



avec des coefficients fonctions de t dont les premiers doivent 

 former un système orthogonal. 



Ces équations (4) sont les seules qui satisfassent le problème; 

 on y reconnaît les formules ordinaires du passage d'un système 

 d'axef fixes à un autre entraîné d'une manière quelconque. 



