ET LA GÉOMÉTRIE 123 



duit donc par les quatre inégalités (8) et (10). Toutefois ou 

 démontre aisément que l'une de celles-ci est une conséquence 

 nécessaire des autres et que nous n'avons en réalité, pour ex- 

 primer le double postulat, que les trois conditions 



3 (y, (p, y, y,) 3 (y, (p., y,,) d(pj ^ 



d(x'i/z't'] - ' Bix'y'z') ^ ' vV -' ' 



qui peuvent s'écrire symétriquement 



>«' -x^^^^>o. ir>o- 



3 (X y z t) ' 3 (.X- 2/2) •" ' 3f 



§ G. Problème de l'invariance des Géométries 

 des deux observateurs. 



Avant d'aller plus loin, proposons-nous le problème de choi- 

 sir les formules de transformation, conformément aux principes 

 de non-retournement, de telle manière que chaque observateur 

 voie l'autre comme celui-ci se voit lui-même; c'est demander 

 que la Géométi-ie des deux milieux géométrés soit indépen- 

 dante de leur mouvement. 



Si ou formule la condition quand K, seul géométré, observe 

 K', la réponse est fournie, comme on l'a vu au § 4, par des équa- 

 tions de transformation du type linéaire 



«' = «1, X + ai-> y + a,:; z -{- a^ ,. . . z' = a-ii x + a-o y + «ss ^ + «s j (H) 



dans lesquelles les coefticients a dépendent de la variable t, les 

 premiers d'entre eux a/; formant un système orthogonal droit. 

 En ditférentiant ces formules à temps constant et faisant pour 

 abréger 



bx' = «,, dx + (iy, dy + a,;j dz ^ ... bz' - a-^ dx + (i;-. dy + a;;;., dz , (11 bis) 



on trouve, en eftet, dt~0, dx = ùx\ etc., donc 



dx'- + dy'- + dz'- = ôx'- f b;/" + ô:.'- = dx' + dy- + dz'-. (12) 



De là résulte l'invariance des dimensions, qui fait que K géo- 

 mètre K' de la même manière que K' se géomètre lui-même. 



Chronométrons K' à son tour pour le rendre capable de géo- 

 métrer K. Posons, par exemple, i' = cjj (t, x, y, z); diflférentions 

 les relations (11), à temps t' constant, soit sous la condition 



