124 LES ÉQUATIONS DU PRINCIPE DE RELATIVITÉ 



dtjj = 0, ce qui établit entre les différentielles des variables 

 X, y, z, t une équation telle que 



dt = i^dx + qdy + ràz. (13) 



Dans cette hypothèse, les qualités dx, ày, dz prennent la 

 forme 



dx' = àx' + adt , dy' = ô//' + ^ dt , dz' = ôz' + ydt ; ( 14) 



il faut, pour satisfaire le problème, qu'en les substituant dans 

 (12), cette équation reste satisfaite ; cela entraîne 



dt- (a- + y5-' + y-) + dt {2aôx' + '2/iày' + 2ybz') = 0, 



relation qui se décompose en deux autres. On a ou bien dt = 0, 

 ou bien (a= + p^ + r^dt = — 2{vM' 1- ,VV -^ vÇ^'), ces va- 

 leurs de dt devant, bien entendu, se confondre avec (13). 



Prenons d'abord la seconde hypothèse, et portons la quantité 

 dt qui en résulte dans les formules (14). Faisons, pour abréger, 

 oy = 7.-+ p- -j- Y" ; il vient 



<ix' = n - ^j;;) ôx' - |f 6/- ^f ô.', 



d3'= -2«r ô.'- ^ 6v' + (i-^)ô.', 



Les seconds membres forment une substitution orthogonale 

 gauche, tandis que la transformation (11 his) de 8x, dy', dz' eu 

 dx , dy , dz est orthogonale droite. Ainsi (^a;', dy , dz s'expri- 

 ment en dx, dy, dz, par une transformation orthogonale gau- 

 che, quand on opère à temps // constant. La seconde hypothèse 

 envisagée plus haut est donc contradictoire avec le postulat de 

 non-retournement dans l'espace et doit être écartée. Il reste 

 seulement la première hypothèse, en vertu de laquelle la con- 

 dition dt' = entraîne dt ~ 0. 



Nous voyons que t' dépend de t seul. La simultanéité de deux 

 événements, localement séparés, présente donc la même signi- 

 fication pour les deux observateurs; il en est d'ailleurs de même 

 de l'antériorité, comme le démontre la condition de non-retour- 

 nement dans le temps, ou -jj > 0. De la sorte t' est une fonc- 



