ET LA GÉOMÉTRIE 131 



Chacun de ces tenseurs doit être de révolution, et à la position 

 près, il faut qu'ils soient identiques. 



Si donc le vecteur {x ^ y' , z) tourne autour de OX',son asso- 

 cié par T doit tourner du même angle et dans le même sens, 

 autour de OX ; soient OA' le premier vecteur, et OA = T (OA') 

 le second. En prenant OA' sur OX', il ne change pas en tour- 

 nant, donc OA est aussi sur OX ; c'est dire que l'hypothèse 

 y = s' = 0, faite dans le tableau T, doit entraîner y = z = 0. 

 On a donc a = a" — ; puis, en raisonnant sur T' comme sur 

 T, a' = 7." = 0. Ensuite les deux dernières formules des deux 

 tableaux devant être les résolutions l'une de. l'autre, le déter- 

 minant h' c" — c h" sera ditïéi-ent de zéro. 



Supposons maintenant que OA', perpendiculaire sur OX', 

 tourne autour de cet axe; son correspondant OA décrit un cer- 

 cle autour de OX, et l'ensemble des divers cercles obtenus 

 ainsi en faisant varier le rayon OA' constitue un cône droit, de 

 sommet et d'axe OX. Mais ce cône n'est que la transformée 

 par T du plan Y'Z', et comme un plan redonne un plan, le dit 

 cône ne peut être que le plan YZ. Ainsi la supposition x' = 0, 

 doit donner x = 0. On tire de là 6 = c = 0; en outre, puisque 

 les deux tenseurs déforment de la même manière les vecteurs 

 parallèles aux vitesses des milieux, il faut que a ^ a. 



Réduisons nos équations (19) et (19 ) en tenant compte de 

 ces divers résultats, et nous trouvons, en désignant un peu dif- 

 féremment nos coefficients, 



■JC — qt = — ax' ,1 x' — qt' = - ax , ) 



y =b'y' +c'z' , (20) y' =^'y +y'z , (20') 



Z = b"y' + c"z' , ) s' = /i"y + y"z . ) 



On tire des deux premières la conséquence 



X {1 - a~) ^, x' a - ci-) 



t - ai' = —^ '- , t' - at = — ■ -' , (21 ) 



2 q 



d'oii il résulte que a doit être positif pour tenir compte du non- 

 retournement dans le temps. On voit, d'après ce signe, que les 

 axes OX et O'X' sont correspondants, mais paraissent opposés 

 aux deux observateurs. Quant à la condition de non-retourne- 

 ment dans l'espace, elle exige que le déterminant des tenseurs 

 T et T' soit positif, ou que b' c" — c h" < o. 



