136 LES ÉQUATIONS DU PRINCIPE DE RELATIVITÉ 



Je dis que, réciproquement, toute transformation de cette 

 forme en elle-même satisfait le postulat de réciprocité et symé- 

 trie si elle vérifie ceux de non-retournement dans l'espace et 

 dans le temps. 



En effet, posons d = l, et envisageons le polynôme 



l- - X- - y- - z' , (27) 



qu'on rencontre dans l'étude du mouvement non-euclidien de 

 l'espace de Lobatcliewski. 



Soient, dans un tel espace, OXYZ un système d'axes rectan- 

 gulaires, M un point à la distance OM = r de l'origine, suivant 

 une direction repérée à l'aide des angles a, [î, 7 qu'elle forme 

 avec les axes. On sait que les coordonnées du point M sont les 

 quatre quantités 



l = chr , X = shr cos a , y = shr cos ft , ; = shr cos y , 



qui vérifient les conditions 



Z > , I- - X- - y- - 3- = 1 . 



Changeons le système d'axes, nous aurons des coordonnées 

 analogues V, x, y', z\ donnant de même 



r > , V- - x'- - y'- - :'- = 1 . 



Les nouvelles coordonnées sont liées aux anciennes par des re- 

 lations linéaires qui laissent intactes le signe de l et, en même 

 temps, la forme du polynôme l'- ~ x- — tf — z'-. Ecrivons ces 

 relations 



x' = b,, J- + bi2 y + '>i:; : + &,4 ^ 

 y' = 6,1 X + 602 y 4- 623 : + b.,i l, 

 3' = 63, j; + 632 y + h^z ^ -\- hil, 



V = 64, x + 642 2/ + &43 3 + fe« ^ . 



La condition . >• 0, qui doit être vraie quels que soient 



X, y, z, en particulier pour x, y, z = 0, montre que h^^ est posi- 

 tif. Cela, au point de vue de la relativité, correspond au wow- 

 retournement dans le temps. 



D'autre part, la condition d'invariance du polynôme (27) 

 s'exprime par des relations entre les coefficients h j, et de ces 

 relations on déduit immédiatement la résolution du système (28) 

 sous la forme 



