ET LA GÉOMÉTRIE 137 



a: = fc,i j;' + &21 y' + ^ax - - ^41 l' , 



y = b,.;. x' + b.j-, y' + 630 :■' ^- b^o V , ^^g') 



:: = 6,3 a?' + &2H ?/' + 633 z' - &43 ^' , 



; = _ b,^ ic' - 604 »y' - fe.,4 :' + 644 ^' . 



Comparons ce système à celui qu'aurait donné la résolution 

 directe de (28); on conclut que le mineur d'un élément quelcon- 

 que bij du déterminant D des formules (28) est égal à la quan- 

 tité ±. hjil), le signe étant Hz selon que le nombre 4 figure un 

 nombre pair ou impair de fois dans le couple lij) des indices. 

 Mais tout déplacement non euclidien est compris dans un groupe 

 de déplacements ; pour ce motif le déterminant D, qui doit être 

 it 1 à cause de la propriété d'invariance de (27), ne peut être 

 négatif. Le mineur de h^^ est donc égal à b^^ lui-même; il est 

 positif. Cette nouvelle propriété correspond au non-retourne- 

 ment dans l'espace du principe de relativité. 



Réciproquement on peut dire que toute transformation de 

 (27) en elle-même, à déterminant D ^ -f- 1, satisfait à l'un des 

 postulats de non-retournement si elle vérifie l'autre; en même 

 temps elle est identique à un déplacement non-euclidien d'un 

 corps solide dans l'espace de Lobatcliewski. 



Pour démontrer qu'une telle transformation vérifie le postu- 

 lat de symétrie, il suffit de remarquer qu'en faisant tourner les 

 axes OXYZ et O'X'Y'Z' autour de leurs centres respectifs, ce 

 changement d'orientation permet de ramener le déplacement 

 dont il s'agit à une simple translation le long du segment 00'. 

 Il est aisé d'obtenir les formules réduites auxquelles on est ainsi 

 conduit. 



Prenons 00' comme axe OX, O'O comme axe O'X' ; OY et 

 O'Y' tous deux perpendiculaires à 00' dans le même sens et le 

 même azimuth ; OZ et O'Z' à angle droit, dans le sens direct, 

 sur les premières arêtes de leurs trièdres respectifs. Les for- 

 mules cherchées, identiques à celles d'une translation, s'éta- 

 blissent immédiatement ; ce sont 



X = — x'chr + l'shr , x' = — xchr + Ishr , 



y = .'/' , .'/' = y , 



l = — x'shr + l'chr , l' = — xshr + Iclir , 



Sauf la différence des notations elles coïncident avec le ta- 



