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courbes intégrales du système III passant par l'origine; une 

 pareille courbe étant trouvée, on remonte à la trajectoire clans 

 l'espace en calculant l'angle 9 à l'aide de l'équation II, ce qui 

 exige une quadrature. 



Je n'ai pas réussi à démontrer rigoureusement l'existence des 

 courbes intégrales du système III passant par l'origine. Cepen- 

 dant par des développements en séries et des méthodes d'inté- 

 gration numérique, j'ai rendu cette existence extrêmement 

 probable. 



Posons 



K = r cos ip , z = r sin xp 



et 



y= -y, 

 où Y^ est positif. 



Alors j'ai directement des équations diU'érentielles déduit 

 les séries suivantes ^ : 



et 



1 , 1 ., , 17 o 4 183 , . 



s y, s- — ~ y,' s y, '^ s y, s" 



8^' 8^' 128-^' 1280'^' 



3 . 33 „ , 171 , . 1587 , , 



S étant nul à l'origine, et en éliminant s 

 cos^V^ , 3 ,_,„,. , _,. ,. ^ 15 _ ,, ,. _^ 27 



r = 



+ -^^^ — r (cos^" W + cos^2 î^ + — cos" yj + ^ cos"= yj + . 

 2 yi 256 yi Ib o2 



Enfin pour l'angle 'f correspondant à la trajectoire dans l'es- 

 pace j'ai trouvé, (p étant choisi nul à l'origine: 



3,9 , , 453 ., , . 3561 3 . , 



^^ = Ï6^- + 32^'' +1024^''^ +5Ï2Ô^' ^ +•••• 



le signe -[- à choisir si le corpuscule s'éloigne de l'origine, le 

 signe — s'il s'en rapproche. 



Par ces formules on voit que la courbe par l'origine a un 

 contact à l'origine avec la ligne de force 



_ _ cos- ip 



' ^~27r 



d'un ordre très élevé. 



1 Voir mon Mémoire de 1907, § 10 et § 12. 



