Physiologie, Biologie, Anatomie u. Morphologie. 50 1 



3. Abscissenaxe beiderseits unbegrenzt: a. asymmetrisch Typus IV 



b. symmetrisch Typus V 

 letzteres ist die Gauss 'sehe Fehlercurve oder Normalcurve. 



Von Combinationscurven oder Complexcurven, die ausser diesen ein- 

 fachen Curven noch in Betracht kommen, hat Pearson nur die ein- 

 gipfeligen behandelt, während die mehrgipfeligeu, die nach meinen Unter- 

 suchungen im Pflanzenreich die weiteste Verbreitung zu haben scheinen, 

 noch der mathematischen Bearbeitung harren. Als Grundgesetz der spon- 

 tanen Variation kann aber schon jetzt das folgende ausgesprochen werden : 

 „Die Eckpunkte der durch graphische Darstellung spon- 

 taner Variation erhaltenen Variationspolygone liegen 

 auf inhaltsgleichen Curven, welche entweder selbst 

 Wahrscheinlichkeitscurven oder aus solchen zusammen- 

 gesetzt sind. Die mathematischen Eigenschaften dieser 

 Curven sind Funktionen der mathematischen Eigen- 

 schaften der Variationspolygone; insbesondere fallen die 

 Schwerpunktsordinaten beider zusammen", oder „Die Fre- 

 quenz der Einzelvarianten unterliegt den Gesetzen der 

 Wahrscheinlichkeit von Combinationen" (Duncker). 



Zur Classifikation der Variationspolygone einheitlicher 

 Wahrscheinlichkeitscurven hat Pearson ein einfaches Ver- 

 fahren angegeben. Gewisse Constante, die sich mühelos für 

 jedes Variationspolygon berechnen lassen, geben dessen 

 Zugehörigkeit zu einem der fünf Curventypen an^ Ihre Be- 

 rechnung ist folgende. Man setze die dem arithmetischen Mitt elwertu des 

 Merkmals nächstgelegene (mittlere) Variante gleich 0, bezeichne die 

 Differenz der übrigen Varianten nach ihr (V — Vm) ihrem Zahlenwerth in 

 Varianteneinheiten entsprechend mit — 1, — 2 . . ., 1, 2 . ., multipli- 

 zire die Frequenz jeder einzelnen Variante mit der ersten, zweiten, dritten 

 und vierten Potenz der betreffenden Differenzzahl, summire die Producte 

 gleicher Potenzen und dividire jede der vier Summen durch die Gesammt- 

 zahl der untersuchten Individuen (n). Man erhält so vier Zahlen, i'i, V2, 

 l'3, Vi, von denen i'i und V3 negativ sein können und Vi ein echter Bruch 

 mit den Grenzwerthen O und 4^ 0,5, nämlich gleich der Differenz zwischen 

 Mittelwerth und mittlerer Variante M — Vm ist. Es bedeutet also: 



Vi = Z (V— Vm) = M— Vm 

 n 



v% = Z{Y—Vxaf 

 n 



V3= ^(V— Vm)^ 

 n 



V4=^(V— Vm)* 



Versteht man unter dem cten „Moment" einer Curve, oder eines 

 Polygons, um einen gegebenen Punkt der Abscissenaxe das arithmetische 

 Mittel der Abscissenabweichungen cter Potenz der Curve etc. von diesem 

 Punkt, so betragen die vier ersten Curvenmomente um das Mittel des 

 aus Trapezen zusammengesetzten Variationspolygons nach Pearson 



/^i = O 



/V2 = J'2 — M -j- C/e) 



^3 = j'3 — 3 n Vi. "t" 2 v\} 



fii^vi — 4 yi »'S -|- 6 n" y-i — 3 ji* -|- (»'2 — n^ -j- V'^) 



