506 Physiologie, Biologie, Anatomie u. Morphologie. 



negativer Abweichungen, deren Producta mithin Positiv sind, der diagonal 

 dazu gelegene rechte untere (IV. Quadrant) nur solche positiver Abwei- 

 chungen ; der rechte obere (II) und der linke untere (III. Quadrant) Combi- 

 nationsfrequenzen von Abvsreichungen, die für das eine Merkmal positiv, für 

 das andere negativ sind. (Die Producte daher negativ.) Bei fehlender Corre- 

 lation musB, da die Combinationsfrequenzen der Abweichungen nach den Ge- 

 setzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung vertheilt sind, die Summe der nega- 

 tiven Producte des II. und III. Quadranten gleich der Summe der positiven 

 von I und IV werden, beide Summen müssen daher Null ergeben; bei 

 vorhandener Correlation überwiegen dagegen die Producte in der Diagonale 

 der grösseren Combinationsfrequenzen die übrigen, so dass .2(xix2) dieser 

 Diagonale entsprechend positiv oder negativ wird und zwar = + 1, wenn 

 sämmtliche Combinationsfrequenzen in einer einzigen diagonalen Reihe im 



. (XI X2 ) 



Schema angeordnet sind. (Es ist dann xi ^ X2 £i = £2 folglich — !l L 



=^_(±x2) = + €2^ r= :^(xix2) =+l) 



Die Abweichungen (V — M = x) jedes der beiden Merkmale zerfallen 

 in positive und negative und sind von einander um das Einfache oder 

 Ganzzahlig- Vielfache der Varianteneinheit verschieden. Sie setzen sich 

 aus ganzen Zahlen und einem Decimalbruch zusammen. Letzterer ist bei 

 den negativen Abweichungen mit dem Mittelwerthsbruch identisch , bei 

 den positiven gleich dessen Complementbruch. Bezeichnet man die ganzen 

 Zahlen der Einzelabweichungen beider Merkmale mit Hl ^i ^"^^ üb ^2, 

 die Complementbrüche ihrer Mittelvverthe mit §1 und ^2, die einzelnen 

 Combinationsfrequenzen mit f und durch die Indices —I, .^11 etc. den 

 Quadranten, in welchen die betreffende Operation ausgeführt werden soll, 

 so ist nach D u n c k e r 



. ^(X1X2) = 2:1— IW (f XI X2) — : ri(f Xl) — :ri(fx2) -t ^If — ^JI (f X2) — ^III (f XI) 



n n 



— lih . 



Ueber die Berechnung der Correlations-Beziehungen von mehr als 

 zwei Merkmalen zu einander liegen zur Zeit noch nicht so günstige 

 Methoden vor (vgl. Yule, On the significance of Bravais' formulae for 

 regression etc. in the case of skew correlation 1897, On the theory of 

 correlation 1897). 



Als Beispiel aus der Botanik wählen wir die Correlation zwischen 

 der Variabilität der Oberlippe und Unterlippe von Linaria spuria 

 nach Vö ch ting (Blütenanomalien [Berlin, Bornträger 1898] p. 21, 22). 



Die Frequenzen für die Zipfel der Ober- und Unterlippe ergeben 

 folgendes Combinationssc.hema: 



Unterlippe : M 2 = 3,0145, ^2 = 0,1539 ; M s = 1,9844, f = 0,1258 



z X _ 



12 3 4 5 ^f -f- n]2 z 



f2 *6 



Oberlippe 

 1 

 2 

 3 



— 2 45 846 67 960 4,019 1,0045 6,526 —7,825 —0,834 

 2 195 59393 99 5 59694 2,998 —0,0165 0,107 0,129 —0,864 



— 11 3 2 — 16 2,437 —0,5770 3,749 8,073-0,464 



