90 GÉOMÉTRIE DES CORPS SOLIDES 



conserve la forme des relations métriques ponctuelles; seulement 

 les arguments qui figurent dans les dites relations sont complexes 

 dans l'un des cas et réels dans l'autre. 



Pour comprendre exactement la nature, et aussi la portée de 

 la correspondance dont il s'agit, il faut ajouter immédiatement 

 que la stéréométrie imaginaire par laquelle s'expriment les pro- 

 priétés de l'espace feuilleté (^) est nécessairement non-eucli- 

 dienne, du type elliptique, cela quelle que soit la courbure de 

 l'espace ponctuel qui sert de lieu au corps solide mobile. 



La relation qui existe entre les deux géométries de l'espace 

 feuilleté et de l'espace ponctuel est, en résumé, de la même 

 espèce que celle, bien connue ("), qui unit la Géométrie réglée 

 à la Planimétrie imaginaire. Les deux ordres de faits sont dans 

 un lien d'étroite dépendance, car, comme je l'ai fait remarquer 

 précédemment, la Géométrie des corps solides est une sorte de 

 système complet qui renferme, parmi ses différentes particula- 

 risations, les diverses Géométries qu'on peut élaborer successi- 

 vement, ponctuelle, tangentielle, réglée, etc. En généralisant 

 notre Géométrie ordinaire, de manière à rendre complexes les . 

 éléments réels qui la constituent, il se trouve que les lois si 

 connues qui existent entre eux se prolongent, sans modifica- 

 ■tions, dans le complexe, et que d'ailleurs les faits nouveaux 

 s'interprètent avec une entière netteté par l'introduction du 

 corps solide substitut adéquat du point imaginaire. Une homo- 

 généité absolue se manifeste entre les propriétés des divers 

 objets, corps et points, droites et vrilles, plans et vrilloïdes, etc., 

 qu'on peut être appelé à étudier successivement. 



Cette permanence, caractéristique de notre espace à 3 dimen- 

 sions, est bien remarquable. Il serait fort intéressant de l'étu- 

 dier à fond ; au point de vue axiomatique, par exemple, il impor- 

 terait d'élaborer, pour la Géométrie des corps solides, un sys- 

 tème d'axiomes qui représentent, à l'égard de l'espace feuilleté, 

 l'équivalent de ceux qu'a donnés M. Hilbert pour l'espace réel. 



') Expression due à M. de Saussure. Cet auteur donne toujours au 

 corps solide la forme particulière d'un feuillet. 



■) Par exemple, voir, du même auteur, les mémoires, « Etude de géo- 

 métrie cinématique réglée » et « Calcul géométrique réglé », Avierican 

 Journal of Mathematics . Vol. XVIII et XIX. 



