ET GÉOMÉTRIE IMAGINAIRE 91 



Le but que je poursuis ici est beaucoup plus modeste ; il con- 

 siste à exposer aussi clairement que possible, par les moyens 

 les plus élémentaires, le fait de correspondance énoncé plus 

 haut. C'est l'objet de la première partie de ce travail; elle est 

 presque entièrement synthétique, et pour la lire il suffit d'un 

 bagage bien léger de connaissances antérieures. Les quaternions 

 notamment n'interviennent que fort tardivement, au chapitre 

 XI, à propos du changement des repères. Au prix de quelques 

 longueurs il aurait été sans doute possible d'en éviter l'emploi 

 d'une manière complète ; je n'ai pas cru devoir éliminer ainsi, 

 artificiellement, un instrument analytique dont l'intervention 

 dans la théorie se justifie par d'excellentes raisons. 



La seconde partie du mémoire contient, avec quelques déve- 

 loppements, les éléments de la Géométrie des vrilles qui n'est 

 que l'aspect réel de la Géométrie réglée imaginaire. 



IL La Vrille 



Le corps solide auquel nous avons aftaire a une forme quel- 

 conque qui doit seulement être bien définie. Ce sera, si on veut, 

 un ellipsoïde, un cylindre, un trièdre trirectangle, ou un feuillet. 

 Il importe cependant de ne pas donner trop de symétrie à la 

 forme adoptée, de manière que l'aspect de la surface extérieure 

 du solide suffise à en marquer la position dans l'espace. Mieux 

 que par les figures ci-dessus le solide serait représenté à l'aide 

 d'un polyèdre dénué d'éléments de symétrie, un cristal du sys- 

 tème triclinique par exemple. 



Une fois sa forme choisie, le solide est défini intrinsèquement, 

 mais comme il est librement mobile dans l'espace il peut occu- 

 per une sextuple infinité de positions. La Géométrie des solides 

 est l'histoire des propriétés de l'hexasérie engendrée par ces 

 divers mouvements. 



Envisagé comme lieu du corps mobile, l'espace possède donc 

 six dimensions. Or, on peut aussi définir, dans l'espace ponctuel 

 ordinaire, des points imaginaires aux coordonnées x, y, z, dont 

 chacune ait la forme complexe a + 6i ; dans ce cas encore, 

 l'espace aura six dimensions. 



