106 GÉOMÉTRIE DES CORPS SOLIDES 



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VII. Nouvelles Propriétés de la Perpendicularité 

 Parallélisme de Clifford 



L'absence d'exceptions dans les théorèmes que nous venons 

 de passer en revue souligne le caractère de la Géométrie des 

 corps solides ; de plus en plus l'espace feuilleté se révèle comme 

 doué des propriétés de l'espace ponctuel elliptique. 



L'ensemble de ces analogies ne permet guère de mettre en 

 doute que de même qu'on peut, dans la Géométrie dePùemanu, 

 tirer, de deux manières, une droite qui soit normale à deux 

 droites données, on ne puisse également construire deux vrilles, 

 et deux seulement, qui soient normales à deux vrilles données. 



Désignons ces dernières par V et V, par U et U' leurs con- 

 juguées. Le problème des vrilles normales se réduit à tracer les 

 vrilles sécantes communes de quatre autres vrilles qui sont V, 

 V, U et U'. 



Si une première sécante D était construite, la conjuguée de 

 celle-ci, à savoir D', serait une autre sécante commune. 



En etïet, les pôles de 4 vrilloïdes passant tous par D, puis 

 respectivement par V, V, U, ou U', appartiennent d'une part 

 aux vrilles U, U', V, V, de l'autre à la vrille D', laquelle est 

 ainsi sécante commune. On voit que si le problème des norma- 

 les communes est déterminé, il est au moins du second degré. 



Pour montrer qu'il atteint effectivement ce degré, il faudrait 

 étendre aux vrilles les propriétés projectives connues des sur- 

 faces du second ordre, montrer qu'une quadrique de corps soli- 

 des est rencontrée par une vrille suivant deux corps, etc. Une 

 telle extension, établissant l'existence d'un double système de 

 génératrices qui sont des vrilles, fournirait immédiatement une 

 foule de théorèmes tels que le suivant. 



Neuf positions arbitraires d'un même corps solide étant don- 

 nées, il existe une tétrasérie de positions contenant celles-ci, tétra- 

 série telle qu'elle se décompose, de deux manières diffé'entes, en 

 une bisérie de vrilles. 



Mais au lieu de suivre cette marche banale, laquelle, bien 

 que basée sur des analogies immédiates, offre probablement des 



