110 GÉOMÉTRIE DES CORPS SOLIDES 



En Géométrie de Lobatchewsky la construction précédente 

 admet les exceptions suivantes. Si U et U' sont parallèles la 

 droite D est rejetée à l'infini; d serait de même à l'infini si 

 c'étaient u et u qui devenaient parallèles. Laissons de côté ces 

 cas limites ; il ne reste que ceux où U coïncide avec U', ou bien 

 u avec II' . Ces deux cas correspondent à ce qu'on appelle, en 

 Géométrie riemannienne, le parallélisme de Clifford; ils four- 

 nissent même, pour le phénomène du parallélisme, une inter- 

 prétation aussi simple que remarquable. 



Généralisant le langage nous dirons donc que deux vrilles V 

 et V sont parallèles au sens de Clifford lorsque les axes de ces 

 vrilles coïncident dans l'espace, ou encore, lorsque les deux axes, 

 différents dans l'espace, sont homologues l'un de l'autre par 

 rapport au corps descripteur. Les deux cas du parallélisme 

 peuvent être réunis, mais alors les deux vrilles sont identiques. 



On voit immédiatement, comme une conséquence particulière 

 de la construction précédente, que si deux vrilles sont parallèles 

 au sens de Clifford toute vrille normale à l'une et qui rencon- 

 tre l'autre sera aussi normale à celle-ci. De la sorte un couple 

 de vrilles parallèles admet un système de oo' normales commu- 

 nes. 



Les propriétés du parallélisme de Clifford se déduisent faci- 

 lement de ce qui précède ; elles sont identiques à celles du paral- 

 lélisme ordinaire de la Géométrie euclidienne, sauf un point. 

 Les vrilles parallèles ne sont jamais situées dans le même vril- 

 loïde ; il en résulte, comme nous allons voir, que par un corps 

 C, extérieur à une vrille Y, passent deux vrilles parallèles à 

 celles-ci. 



Pour obtenir la première parallèle, il faut imprimer au corps 

 C un mouvement hélicoïdal quelconque autour de l'axe v de la 

 vrille V ; on aura la seconde en vrillant le solide C autour de la 

 droite V homologue de v par rapport à C. 



Soit (fig. 9) Cl Cj la vrille normale à une vrille V, élevée par 

 le corps Cl, lequel appartient à V. Si on imprime à cette vrille 

 Cl C2 un mouvement hélicoïdal autour de l'axe v, de manière 

 que Cl arrive en Cg, et en même temps, C2 en C^, la vrille C^ C^ 

 est parallèle à la vrille Ci Cg comme ayant le même axe que 

 celle-ci, à savoir v. Mais Ci C„ et Cg C^ sont aussi parallèles, au 



