ET GÉOMÉTRIE IMAGINAIRE 113 



relative de deux corps sont connues sans ambiguïté. D'ailleurs 

 l'intervalle n'intervient ordinairement que par son cosinus ; 

 c'est une quantité complexe, connue au signe près, et que j'ap- 

 pellerai souvent Vinvariant (^) des deux corps. Sa valeur est 



cos u = cos (m' + iu") = cos u' ch u" — i sin u' sh u" , 



formule qui devient, pour le cas euclidien (^) 



cos u = cos u' — iu" sin u' . 



Il importe de remarquer que les définitions précédentes n'ont 

 pas un caractère d'absolue généralité. Dans la Géométrie de 

 Lobatchewsky certains mouvements particuliers, dits Jioricycli- 

 ques, ne sont équivalents à aucune torsion ; ils dérivent du mou- 

 vement hélicoïdal, comme cas limites, quand l'axe de la torsion, 

 d'abord à distance finie, s'éloigne à l'infini. Qu'on prenne, par 

 exemple, les symétriques d'un même corps par rapport à deux 

 droites parallèles ; le mouvement qui conduirait les positions 

 finales du corps l'une sur l'autre est précisément horicyclique. 



Dans le cas du mouvement horicyclique, la notion de distance 

 s'évanouit; mais celle (Vinvariant subsiste. On voit aisément 

 que la valeur de l'invariant, dans ce cas singulier, est égale à 

 =t 1 ; c'est la même valeur qu'on obtient pour l'invariant de 

 deux corps coïncidents. Il importe de ne pas confondre ces deux 

 cas, si difterents, de la coïncidence et de l'horicyclisme, quoi- 

 qu'ils ne puissent être distingués l'un de l'autre par la valeur 

 de l'invariant (^). 



Rappelons encore qu'à l'inverse de ce qui a lieu pour deux 

 points la distance de deux corps ne suffit pas pour fixer la situa- 

 tion relative de ces corps dans l'espace. Il faut joindre à cette 

 donnée l'axe de la torsion par le moyen de laquelle un des corps 

 s'applique sur l'autre. Mais, ainsi que nous l'avons déjà dit 

 dans une circonstance analogue, cette ditiereuce avec la Géomé- 



') Pour rappeler qu'elle ne dépend pas d'un système particulier de 

 référence. 



-) Dans ce cas l'imaginaire i doit vérifier la condition i" = G, au lieu 

 de i- =- — 1. 



^) De môme en Géométrie euclidienne, l'invariant est égal à ± 1, non 

 seulement si les deux solides coïncident, mais encore toutes les fois qu'ils 

 sont orientés semblablement. 



