116 GÉOMÉTRIE DES CORPS SOLIDES 



Cela posé, admettons qu'un corps mobile C se rende de C^ à 

 C, en décrivant, dans la vrille qui joint ces corps, un mouve- 

 ment entièrement déterminé, et prenons dans la vrille conju- 

 guée un corps fixe Co , lequel sera nécessairement orthogonal à 

 C dans toute la série des positions de ce dernier. Si on suppose 

 que l'axe du renversement qui conduit CoSurC ne puisse varier 

 que d'une manière continue, on reconnaît immédiatement que 

 les positions finales du dit axe sont séparées par un intervalle 

 précisément égal à celui des corps C^ et C„. 



Relation TRiGONOMÉTRiQUE.Soit C un corps solide qui décrit 

 tour à tour deux vrilles V et V, d'axes (V) et (V), eu se dépla- 

 çant, dans chacune, des quantités v et v', de manière à occuper 

 finalement les positions A et A'. Si il est l'intervalle des axes 

 (V), (V), et que oi représente la distance AA', je dis que nous 

 avons la relation trigonométrique 



cos 0) = cos V cos v' + sin v sin v' cosi2 . (1) 



Pour faire la preuve de cette proposition fondamentale, pre- 

 nons un système d'axes coordonnés direct, dont l'axe des z soit 

 la normale commune aux axes (V) et (V). Traçons un seul des 

 axes, (V) par exemple, et nommons œ = w' -j- iw", sa distance 

 àÔX. 



Nommons C la position occupée par C quand on imprime à 

 ce dernier une rotation de 180°, rétrograde autour de OZ. 

 La distance v = CA est égale, nous le savons, à l'intervalle qui 

 sépai-e les axes des deux renversements qui ramènent le 

 corps C tantôt sur C, tantôt sur A. L'un de ces axes est OZ 

 lui-même; soit a l'autre, nécessairement normal à la ligne (V), 

 comme le montre la fig. 11. Il nous faut, d'après les règles de 

 la Géométrie réglée, les coordonnées complexes de la droite a 

 par rapport à notre système d'axes (^). 



Les coordonnées du vecteur (V) sont évidemment 



cos (p , sin çi , ; 



*) Un mode d'exposition qui éviterait ce recours à la Géométrie réglée 

 serait certainement de beaucoup supérieur à celui que j'adopte ici par 

 motif de brièveté. 



