178 GÉOMÉTRIE DES CORPS SOLIDES 



La notion de symétrie s'étend immédiatement aux vrilles et 

 aux vrilloïdes. Par exemple, ayant projeté le corps A^ en A' sur 

 le vrilloïde, le symétrique de A^ relativement à A', soit A^ , sera 

 aussi le symétrique du corps A^ pm- rapport au vrilloïde. 



Appliquons à ce cas la formule trigonométrique (2), en pre- 

 nant un corps quelconque A du vrilloïde, les deux symétriques 

 Ao et Aj , et le médian A'. Nous avons ici il = 90° : par suite 



± cos AAo = cos A'A„ cos AA' , (3) 



et, de la même manière, 



± cos AAj = cos A' Al cos AA' = cos A'Ao cos AA' . (4) 



Ainsi, les distances d'un corps quelconque appartenant au vril- 

 loïde à deux coyps symétriquement placés par rapport à ce vril- 

 loïde sont égales entre elles. 



Réciproquement, le lieu des corps également distants de deux 

 corps quelconques A^ et A^ est un vrilloïde mené par le corps mé- 

 dian A' perpendiculairement à la vrille A^ A^. Comme il y a deux 

 corps médians, il existe en réalité deux vrilloïdes semblables. 



En résumé, la symétrie possède les mêmes propriétés par 

 rapport à un plan réel, et par rapport au plan imaginaire qu'est 

 le vrilloïde. On doit toutefois remarquer que si on continue d'ap- 

 peler distance d'un corps à un vrilloïde l'intervalle qui sépare 

 le corps de sa projection, cette distance ne possède aucune pro- 

 priété de minimum, contrairement à ce qui a lieu dans le réel. 



La différence provient du fait que, dans la formule (3), la 

 variable AA' est complexe. Il est clair qu'on peut toujours la 

 déterminer de manière que le premier membre de la formule 

 ait une valeur quelconque. Et ainsi, il existera toujours dans le 

 vrilloïde (ou dans une vrille quelconque) un corps dont l'inter- 

 valle avec Aq soit arbitraire, par exemple un corps tel que l'in- 

 variant cos AAo pi'enne la valeur =1= 1. 



Cette valeur singulière ne signifie pas du tout que A coïncide 

 avec A„ ; ce serait contradictoire, puisque nous savons que A^ 

 est, généralement parlant, extérieur au vrilloïde. Elle veut dire 

 que les corps A et A^ sont symétriques d'un même corps par rap- 

 port à deux droites parallèles ; quel que soit A^ , le vrilloïde con- 

 tient toujours des corps A qui participent à ce caractère excep- 



