ET GÉOMÉTRIE IMAGINAIRE 185 



Eli effet, les quatre coordonnées X vérifient évidemment deux 

 équations linéaires indépendantes de s et analogues à (8') ; en 

 outre, les égalités 



cos s 



= V 



x^X^ , sin s = V y^x^ ^ 



font ressortir la signitication de s, conforme à celle indiquée à 

 l'instant. 



Coordonnées 2Jluckénenms. Toutefois la représentation la plus 

 employée pour les vrilles est celle que fournissent les coordon- 

 nées plûckériennes ; elles ne diffèrent des coordonnées plûcké- 

 riennes de la droite que parce qu'elles sont complexes et non 

 réelles. 



Désignons par x, y deux corps quelconques, qui ne sont pas 

 en général orthogonaux; soient cc^, y^ leurs coordonnées. Défi- 

 nissons six quantités complexes (^), 



l sin {xy) = x^y^ — x.y^ , p sin ixy) = x^ys — x^yo , 



m sin ixy) = Xoy-^ — ^2Î/o > 2 sin (xy) = x^y^ — x^y^ , 



n sin [xy] = x^y^ — Xg^o , i" sin {xy) = x^y^ — x^y^ . 



i (9') 



Les six quantités, complètement connues sauf un signe com- 

 mun qui reste arbitraire, ne changent pas si a; et y se déplacent 

 dans la vrille ; elles en sont les coordonnées plûckériennes. Entre 

 elles existent les deux identités fondamentales 



r- + vi'- + n- + 2r + q' + r' ^- l , (10) 



Ip + mq + nr = . (11) 



Enfin tout corps x, appartenant à la vrille il. . . r), satisfait 

 les conditions 



px„ = 11X2 — mx3 , qxo = Ixn — nx, , ] 



(12) 

 ynxo — 1X3 , I 



rx, 







lesquelles soiit compatibles entre elles en vertu de la formule (1 1). 



') Les notations les plus symétriques seraient l^i , Zqo • ^3 , ^23 . hi > ^2 • 

 J'écris l, m, n,p, q, r pour éviter les doubles indices. 



