ET GÉOMÉTRIE IMAGINAIRE 187 



ment les coordonnées plilckériennes de la vrille V, dont les 

 deux équations figurent au n° (14) ; ce sont 



/ sin (iti)) = 1*2^3 — %î'2 5 P sin iuv) = u^Vi — u^Vq • 



m sin {uv) = u^v^ — u-^v^ , g sin \uv) = u^Vo — «s^'o > 



n sin {uv) = U1V2 — iioVi , r sin (uv) = u^v^ — ihVo . 



Nous n'avons pu éviter de répéter ici, dans le domaine com- 

 plexe de la Géométrie des vrilles, des théorèmes qui sont très 

 connus dans le domaine réel de la Géométrie réglée. Je veux, 

 terminer cette énumération par un nouveau théorème, sans 

 analogue dans la Géométrie réelle, et dont on trouvera la 

 démonstration un peu plus loin. Je tiens à signaler à cette place 

 ce résultat tout à fait essentiel. 



Nous savons comment une vrille est définie au point de vue 

 géométrique : on marque par deux vecteurs correspondants les 

 positions de l'axe de la vrille, dans l'espace eu v, et dans le 

 corps en u (fig. 6). Supposons le système de référence bien 

 déterminé. Le second des axes précédents sera donc l'homo- 

 logue, dans le corps initial P^ , de l'axe de la vrille décrite 

 autour de v. Le théorème en question est alors le suivant. 



Les coordonnées complexes des vecteurs v et u, relativement au 

 trièdre de référence T, sont respectivement égales aux quantités^ 



h = l + p , M. = m + q , N = w + r , (15) 



P = Z-_p, M = m-2, N = w — r. (15') 



Par exemple, en Géométrie euclidienne, si L' est la projection 

 sur OX^ d'un vecteur-unité porté sur v, et L" le moment de ce 

 même vecteur autour de OX^ , nous aurons ^ + p = L'-|- iL", 

 et ainsi des autres grandeurs. 



Il est clair que les six quantités complexes L, . . . R peuvent 

 servir de coordonnées plilckériennes à la place des quantités 

 primitives Z, . . . r. L'emploi de cette seconde forme se recom- 

 mande souvent; entre ces nouvelles coordonnées de la vrille, 

 nous avons les relations 



L- + M- + N- = 1 , (16) 



P- + Q- + R- = 1 , (16') 



