ET GÉOMÉTRIE IMAGINAIRE 189 



Prenons la question dans toute sa généralité. Soient donc, 

 relativement au premier système (P^ , T), x et y^^ les coordon- 

 nées de deux corps x, y ; soient encore x^,', y^' les coordonnées 

 des mêmes corps rapportés à un second système de référence 

 (Po'. T'). 



La distance des deux corps ne dépend pas des repères, il faut 

 donc que 



^ X ij ==±Va:w : 



^^ k^k Là k^k ' 



l'arabiguité du signe s'explique comme toujours. Mais si on 

 convient que les coordonnées d'un corps doivent varier de 

 manière continue quand le système de référence se déplace 

 lui-même d'une manière continue, le signe ambigu ± ne peut 

 pas changer brusquement, il restera donc constamment égal à 

 sa valeur initiale soit -|- {^^). 

 Ayant ainsi 



lé^kVk = 2^A ' 

 et par suite 



2 ^^ = 1 ^'k ' 



on voit que la relation cherchée entre les anciennes et les nou- 

 velles coordonnées est de la forme linéaire 



<=«fco«o + «u-«i + %2-^2 + «*«^s • (^ = 0,1,2,3) (19) 



Cette transformation est orthogonale ; à cause des propriétés 

 de continuité, elle doit être directe, par suite | a^^ | = 1. De 

 plus, si on considère les a^^ (Ji = 0, 1, 2, 3) comme les coor- 

 données d'un corps fixe, par rapport à l'ancien système de 

 repère, ce corps est P^', et l'on a a^^ = cos (P^ P^'). 



' Il est clair que si le système (Pq, T) exécute un mouvement cyclique 

 en reprenant à la fin la position qu'il avait au départ, rien n'empêche 

 que les coordonnées r^ n'aient changé de signe. Il en sera alors de même 

 pour les coordonnées yj^ d'un autre corps quelconque. Cette remarque 

 permet de classer les mouvements cycliques du système (Pq , T) sous 

 deux espèces. 



Les considérations ci- dessus se rapportent à ce que j'ai appelé le 

 signe ou le sens d'un corps. Arch., t. XV, p. 385. 



