ET GÉOMÉTRIE IMAGINAIRE 191 



Existe-t-il une vrille invariante, qui se présente de la même 

 manière relativement au iu)uveau et à l'ancien système de réfé- 

 rence? Impossible d'en douter d'après l'ensemble des analogies 

 entre les droites et les vrilles. L'existence des vrilles invariantes 

 ressort même, de façon lumineuse de la décomposition du mou- 

 vement dans les deux parties dtmt il vient d'être question. 



En effet, chacune des composantes est une torsion; pour 

 qu'une vrille soit invariante, il faut que ses axes, dans le corps 

 et dans l'espace, coïncident respectivement avec les axes des 

 torsions dont il s'agit. Cette condition, qui est nécessaire, est 

 aussi suftisante. On obtient de la sorte deux vrilles invariantes, 

 elles sont conjuguées l'une de l'autre Pour les construire, il 

 faut transporter l'axe de la vrille P^ l*„", solidaire du corps, sur 

 l'axe commun aux deux trièdres T et T', en superposant alter- 

 nativement les deux extrémités de ces deux axes. 



Ici, comme dans la stéréométrie riemannieiine, les objets inva- 

 riants sont réels l'un et l'autre, tandis qu'en Géométrie ponc- 

 tuelle hyperbolique, l'une des droites invariantes seule est 

 réelle, l'autre est idéale. Comme toujours l'analogie s'étab'it 

 entre la Géométrie des cor})s solides et la Géométrie ponctuelle 

 de Riemann. 



Revenons aux deux mouvements décrits plus haut et rappe- 

 lons que si quatre variables x^^ subissent une transformation 

 orthogonale, les six déterminants de Piûcker associes à ces 

 variables, à savoir l, m, w, p. q, r, se transforment de leur côté 

 de telle manière que chacune des deux lignes 



h = l + j) , M = m + q , N = « + »• , 



V = l — p , q = m — q , U = n — r . 



subisse également une substitution onliogonale ternaire ('). 



On peut présumer que ces deux substitutions correspondent 

 aux torsions composantes décrites tout à l'heure. Pour le faire 

 voir, j'introduirai dès maintenant les notations quaternion- 

 niennes; il serait facile d'ailleurs, mais trop long, de justifier à 



') Voir, par exemple, mon mémoire Soc. de Phys. et d'histoire natu- 

 relle, Genève, t. 37, p. 74 et suivantes. * 



