196 GÉOMÉTRIE DES CORPS SOLIDES 



mouvement complexe transforme le vrilloïde en lui-même, il 

 faut qu'il laisse inaltérée cette équation. Les formules géné- 

 rales de la transformation (19) se réduisent alors au type 



^k = «u^i + «/,2^s. + «/cs^s • (^ = 1> 2, 3) (22) 



Cette transformation ternaire est orthogonale, mais les coef- 

 ficients en sont généralement complexes. Géométriquement par- 

 lant, la transformation s'exécutera en laissant fixe le corps 

 initial ?„ , au pôle du vrilloïde, et en déplaçant à volonté le 

 trièdreTdans l'espace. Les six paramètres que contiennent les 

 formules (22) correspondent aux six degrés de liberté d'un 

 pareil mouvement. 



Sous réserve du fait que les éléments de la Géométrie réglée 

 sont complexes et que les mouvements qu'exécutent ces élé- 

 ments sont aussi complexes, la Géométrie réglée se réduit à la 

 Planimétrie riemannienne. Ainsi, la droite imaginaire du plan 

 elliptique s'extériorise dans le réel sous une double forme: elle 

 apparaît à volonté sous l'aspect d'une vrille contenue dans un 

 vrilloïde déterminé ; ou encore sous celui d'une recticongruence 

 contenant toutes les normales à l'axe de la vrille précédeute. 



2"^^ Cas (Espace ponctuel). Prenons toujours comme système 

 de référence un tétraèdre fondamental P^ (k = 0, 1, 2, 3), ou, 

 sous la forme dissymétrique, un corps initial P^ et un trièdre T. 



Si, par rapport à ces repères, un corps solide C possède 4 

 coordonnées réelles, c'est que ses distances aux quatre corps P^ 

 sont également réelles. Dans ces conditions, le corps C rencon- 

 tre (^) les 4 sommets du tétraèdre ; c'est donc l'un des ^' corps 

 obtenus en faisant pirouetter P^ autour de l'origine du trièdre 

 T. L'ensemble de ces <x.^ corps définit donc une stéréocoiironne 

 (■) à centre fixe; l'espace ponctuel riemannien n'est que l'image 

 d'une semblable stéréocouronne de corps solides. 



') En Géométrie hyperbolique deux corps sont concourants quand la 

 torsion qui amène l'un sur l'autre se réduit soit à une simple rotation, 

 soit à un simple glissement. Il est aisé de montrer que si C rencontre les 

 4 corps C^, les 4 torsions correspondantes sont nécessairement des rota- 

 tions. 



^) Voir ma Note, Archives, t. XLI, p. 93 et suivantes. 



