ET GÉOMÉTRIE IMAGINAIRE 199 



les composantes L^ et L., sont réelles, tandis que Lj = i L'\ est 

 purement imagiuaire. Après la rotation, les coordonnées du 

 coi'ps Po sont devenues 



^0 = fto = cos M , Xi = ^1 = L/ sin M , 



*2 = h2 = Lo' sin H , Xg = i§^ = iLg" sin u ; 



les trois premières sont réelles, la quatrième est purement ima- 

 ginaire. Entre les composantes réelles de ces diverses quantités 

 existe la relation 



fc2lfc2it2 t2 1 



ho I M 1 ^2 ~ b3 — i 5 



qui caractérise un plan dans l'espace hyperbolique. Donc, à 

 chaque cotys de la sté'éocouronne à plan fixe correspond, d'une 

 inanière détertninée, ton plan de l'espace de Lohatchewsky. 



D'api'ès sa construction, il est clair que la dite correspon- 

 dance implique conservation des relations métriques, de sorte 

 que la distance de deux corps de la stéréocouronne est égale à 

 l'angle des deux plans qui représentent l'un et l'autre corps. 



Il est clair que la stéréocouronne étant donnée, le système de 

 référence admet oo« positions. En effet, oc^ est le nombre de 

 positions du corps initial dans la stéréocouronne; une fois tixée 

 la situation de P^ , le plan OX^ , OX2 est défini ; c'est celui de la 

 stéréocouronne, mais le système d'axes peut être encore choisi, 

 dans le dit plan, de ©«^ manières distinctes. Toutes ces varian- 

 tes dans la détermination du système de référence correspon- 

 dent aux mouvements de l'espace hyperbolique, qui sont aussi 

 sextuplement infinis. 



En Géométrie euclidienne les seuls systèmes de ©o^ corps 

 deux à deux concourants sont les deux stéréocouronnes. Mais 

 dans la Géométrie hyperbolique, il s'en rencontre de différentes 

 espèces. Par exemple, un de ces nouveaux systèmes est celui qui 

 correspond par dualité à la stéréocouronne à plan fixe. Il est 

 formé de tous les corps obtenus en faisant glisser un solide 

 déterminé, de toutes les manières possibles, le long des droites 

 d'une même gerbe. On reconnaîtra facilement que ce sont les 

 corps appartenant à une semblable stéréocouronne qui corres- 

 pondent aux points de l'espace hyperbolique et peuvent leur 

 servir d'images. 



