ET GÉOMÉTRIE IMAGINAIRE 267 



Pour que la vrille qui joint les deux corps soit une normale 

 commune, il faut donc que l'équation précédente soit vérifiée, 

 ainsi que l'équation symétrique 



y {— z sin i + u cos t}{x cos s + y sin s) = . 



En tenant compte des relations (25), les deux conditions 

 s'écrivent sous forme réduite 



(xs) cos i sin s — (yu) cos s sin i = , ] 



(26) 

 (xz)coss sin ( — (y u) sin s cos i = G . | 



Mais les expressions (xz) et (yu) ne sont pas toutes les deux 

 nulles, sans quoi les vrilles considérées seraient conjuguées ; 

 c'est un cas à négliger. Nous avons donc, en vertu de (26), 



cos- 1 sin- s — cos- s sin- 1 = sin (s -\- t) sin {s — t) = , 



ce qui donne, ou bien s = t, ou. bien s = — t. 

 Qu'on porte ces valeurs dans (26), il vient 



cos s sin s [{xz) =f (yu)] = , 



d'où s = t = 0, ou encore, s = ztt ^ 90°. Donc, il n'existe 

 aucune vrille normale aux deux vrilles données, en dehors de la 

 paire remarquée dès l'abord. 



La conclusion est inexacte, lorsque {xz) = ± (yu). Ces deux 

 hypothèses se réduisent à une seule par le changement de signe 

 de l'un des 4 corps a:,?/, 2, m; prenons donc seulement (a?^) = (yii). 



Dans ce cas les formules ( 26) se ramènent simplement à 



sin (s — t) = , soit s = t ; 



on est évidemment ici en présence d'un parallélisme de Clif- 

 ford. Il existe en effet une infinité de vrilles normales aux deux 

 vrilles données ; leurs extrémités sur chacune de celles-ci 

 décrivent dans l'une et l'autre des segments égaux. De plus, la 

 distance de ces extrémités est donnée par la formule (25'), 

 laquelle devient dans les circonstances actuelles 



(XZ) = [xz] (cos- s + siu- s) = (xz) ; 



et ainsi la grandew- des normales communes est invariable dans 

 le cas du parallélisme. 



