ET GEOMETRIE IMAGINAIRE 



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(33) 



En ettet, les relatioQS (30) et (31) expriment que les substi- 

 tutions 



X = «o-f + PoV + y^z + ôoM , 



Y = a,j' -t- p^y + y^z + Ô,«< , 

 Z = cL^r + li.2y + yoZ + ÔoM , 

 U = «a-r + /333/ + y^z + Ô3M , 



transforment l'un dans l'autre les deux polynômes 



X- + Y- + Z- + U- et ./■-' + y- + «-' + u- + 2a {.rz + yu) . 



Cela étant, résolvons le système (33) par rapport aux petites 

 lettres; nous avons 



«oX + ajY + ïgZ + a^U = j- -\- az = § , 



/3oX + p,Y + /5oZ + A,U = 2/ + a« - j? , 



^oX + y,Y + 72Z + 73U = a.r + ; = ^C • 



ôoX + ôiY + Ô2Z + Ô3U = aï/ + M = T . 



Or, identiquement 



^^- + ??- + ^- + T- - 2a^^ - 2mjT 

 = (1 — a'){.r- + y- + 2'- -}- u- -\- 2a.rz + 2a^M) ; 



qu'on exprime les deux membres en fonction de X, Y, Z, U, il 

 viendra 



(aoX + ajY + aoZ + 7.^\]f + 



(1 -a-)(X^' + Y^' + Z^' + U^') 



De là, en identifiant les termes en XY, XZ, XU dans les deux 

 membres, les trois équations (32) ci-dessus. 



Revenons à la question du parallélisme, et composons les 

 coordonnées plûckériennes de deux vrilles, à l'aide des 4 lignes 

 a, [î, Y, 0, suivant les définitions (9'). Elles donnent 



l = «cA - Aj^i 

 n = ocg/3., - /3,3r3 



et de même, pour V, 



l' = 70^1 — t>oy, 

 m' = y^ôo — ôoy-, 

 n' = yoà-i - ô„y,, 



P = 3f2^3 — «3^2 , 



r = a,/3,, - a./?, , 



P = y^à-i - yA2 , 



q' = y^di — 71Ô3 . 



?•' = yiô, — y-^ài . 



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