270 GÉOMÉTRIE DES CORPS SOLIDES 



Je dis que ces valeurs donnent lieu à l'identité 



{l - r)iq - f/) - (m - m')(p - p'} = , (36) 



OU 



{Iq - mp) - {l'q - m'p) - ilq' - mp') + {l'q' - m'p') == . (37) 



Pour le faire voir il suffit de transporter dans (37) les défini- 

 tions (34) et [pb). Le calcul de chaque terme se fait sur le même 

 modèle, le second par exemple donnera 



l'q - m'p = x.y^(lib) - p^y^i^b) - a^M + PM^-y) ■ 



En réunissant les 4 résultats semblables et en tenant compte 

 des conditions du parallélisme (30) et (31), il vient 



ou zéro, d'après le lemme démontré à l'instant. 



En opérant de la même manière avec les trois déterminants 

 analogues à (36), nous voyons donc que les coordonnées plûcké- 

 riennes de deux vrilles parallèles vérifient les conditions 



l — V m — m' n — n 



r = ; = £ , 



p - p 



OU encore 



l — sp = V — ep' , 

 m — eq = m' — eq' , 



n — £?• = n' — er' . 



(38) 



Comme d'autre part on doit avoir 

 V ,/:.' ^. p2^ ^ V (/'- + p'-') = 1 , et ^iP = ^ l'P' = • 



l'élévation au carré des formules précédentes donne s" = 1, 

 s = ± 1. Et ainsi se trouvent confirmées les conditions du 

 parallélisme écrites plus haut sous les formes (28) et (29). 



Un mot encore sur ce sujet. Soit à mener par un corps (x) 

 une vrille Y {l,... r) qui soit parallèle à une vrille donnée 

 Y'(l'...r'). 



Ayant choisi une des valeurs possibles pour s dans les équa- 

 tions (38), nous écrirons que la vrille V contient (x), par le 

 moyen des trois relations 



pj-Q = nJC2 — mx^ , qjL\, = U^ — nx-^ , rxo = vu.i — 1x2 . 



