ET GÉOMÉTRIE IMAGINAIRE 271 



Le système des 6 équations ainsi écrites, du premier degré, 

 doniiera les inconnues ?,... r, d'une manière entièrement déter- 

 minée; ces inconnues définissent bien une vrille, car les six 

 valeurs déduites des 6 équations précédentes vérifient évidem- 

 ment les conditions 



l- + tn- + n- + p- + q- + r'- = 1 , et 1p + mq + nr = . 



Suivant la valeur adoptée pour £, il existera ainsi deux vrilles 

 parallèles qui se déterminent séparément. La solution analyti- 

 que du problème possède ainsi tous les caractères de la solution 

 géométrique donnée ci-dessus. 



Nous savons que la situation relative de deux vrilles V {l,... r) 

 et V (l,... r") dépend des deux distances conjuguées. Comment 

 ces invariants se déterminent-ils en fonction des coordonnées 

 plûckériennes ? 



Pour le voir, reprenons les représentations paramétriques 

 ci-dessus ainsi que les relations d'orthogonalité (25). L y a deux 

 normales communes, celle qui réunit les corps x et z, et celle qui 

 réunit les corps y et u. Nous donnons respectivement à ces 

 quatre corps les indices 1, 1', 2 et 2 , de manière que les dis- 

 tances xz et yu soient aussi figurées par 11' et 22'. On a, par 

 exemple {^), 



COS 11' = fw = -fo^O + ■''l^'l + •'■2'?2 + C^Zs • 



Nous savons que les coordonnées plûckériennes sont toutes 

 des déterminants, l par exemple, vaut x^ y^ — x^ y^. De là 

 résulte tout de suite, d'après la théorie des formes adjointes, la 

 relation 



IV + mm' + nn 4- pp' + m' + rr' = f^^.U^j — f^rfx'i \ 



— — (39) 



= COS 11' COS 22' , ] 



(^ar/j,, =/;,., = 0. 



Dans la dernière identité permutons la vrille V contre sa 

 conjuguée; il vient 



Ip' + mg' + nr' + pV + qm' + m' = sin ïï' sin 22' . (40) 



M La lettre /"représente la forme fondamentale Xo" + 'i" + oc-^ + aja", /,, 

 l'émanant de cette forme. 



