272 GÉOMÉTRIE DES CORPS SOLIDES 



Les deux quantités (39) et (40) sont les invariants conjugués 

 des deux vrilles; on peut, si l'on veut, les considérer comme 

 les deux déterminations particulières d'un invariant conqjlexe 



il + ep)(l' + ep') + {m + eqXrn' + eq'} + (n + erjin' + sr') ] 



— — (41) 



= cos(ll' - £22') , J 



dans lequel le symbole e peut être remplacé à volonté par ± 1. 

 Et ainsi, en employant les coordonnées plûckériennes sous leur 

 seconde forme, l'invariant complexe (41) se décompose dans les 

 deux invariants suivants 



LL' + MM' + NN' = cos (II' - 22') , (42) 



PP' + QQ' + RR' = cos (ïï' + 22') ; (43 1 



ce sont justement ceux qui définissent la situation i-elative des 

 axes des deux vrilles, considérés tantôt dans l'espace absolu, 

 tantôt dans le corps descripteur lui-même. 



Il est clair que l'invariant (40) s'annule quand les vrilles ont 

 un corps commun et seulement dans ce cas ; que, pour la même 

 raison, le premier invariant (39) est nul si l'une des vrilles 

 possède un corps commun avec la conjuguée de l'autre, autre- 

 ment dit, si les deux vrilles sont perpendiculaires. Enfin l'inva- 

 riant complexe (41), réunion des précédents, est nul dans le 

 seul cas où les vrilles se rencontrent à angle droit, ou sont 

 normales entre elles. 



Les résultats précédents, importants en eux-mêmes, nous 

 permettent de retrouver par une troisième voie, très élémen- 

 taire, les conditions du parallélisme de Cliftord. 



Prenons, avec les vrilles V (l,... r) et V [l\... r), la normale 

 commune (p (X, ... f>); nous devons avoir 



(A -f- eco){l + ep) + (^ + eyj (m + eg) + [v + eq) (n + er) = . 

 {X + ECù){l' + ep') + iiLi + ex){'>n' + eq') + (v + eq) (n' -\- er') = . 



quelle que soit la détermination particulière de e = ± 1. 



Si donc, pour aucune des valeurs de s, nous n'avons les pro- 

 portions 



l ■\- ep m + eq n -\- er 



V + ep' m' -h eg' n' + er' 



(44) 



