ET GÉOMÉTRIE IMAGINAIRE 273 



le problème est déterminé. En prenant tantôt s = 1, tantôt 

 s = — 1, on tirera de l'équation précédente les valeurs propor- 

 tionnelles des quantités 



On achèvera de déterminer les 6 quantités, soit les facteurs 

 de proportionnalité qu'elles contiennent, à l'aide de la double 

 condition 



{À ± o>)- + (u ± xf + (v ± Q)' = 1 . 



En définitive nous sommes aini5i ramenés à la paire des nor- 

 males communes que nous connaissions déjà Ces normales se 

 transforment l'une dans l'autre par l'échange de L, M, N contre 

 P, Q, R ; elles sont donc conjuguées. 



Si la solution du problème est indéterminée, les vrilles V et V 

 sont parallèles entre elles. Pour cela, il faut que, pour une cer- 

 taine valeur de s, les proportions (44) soient réalisées. Il est clair 

 qu'on peut encore caractériser ce cas en disant que l'un des 

 invariants (42), ou (43), à savoir cos (11' ± 22'), est égal à 

 l'unité positive ou négative. 



La solution précédente est évidemment la traduction algé- 

 brique pure et simple de la solution géométrique démontrée 

 ci-dessus. 



XIV. — Les pglyséries linéaires de vrilles 



En résumé la substitution du complexe au réel n'aftecte que 

 fort peu les théories que nous avons étudiées jusqu'à présent; 

 sauf des nuances de détail, elles reparaissent identiques sous 

 une forme nouvelle, plus générale. Et notre unique tâche a 

 consisté à mettre en évidence ce parallélisme grâce auquel les 

 lois ordinaires de la Géométrie se trouvent exprimer les rap- 

 ports spatiaux, non seulement entre les points, les droites et les 

 plans, mais encore des rapports identiques entre les solides, les 

 les vrilles et les vrilloïdes. 



Mais au moment où, dépassant les premiers éléments, on 

 entre dans le domaine des polyséries linéaires, les choses se 

 compliquent. Non pas qu€ le parallélisme s'évanouisse; ils'obs- 



