ET GÉOMÉTRIE IMAGINAIRE 275 



la seconde est quadratique tout en étant homogène. On com- 

 prend d'ailleurs que cette équation ne joue aucun rôle dans le 

 domaine réel ; elle y est toujours satisfaite identiquement puisque 

 xl'= 0. 



Les faits sont absolument les mêmes quand on passe aux 

 vrilles, sauf que les diverses polyséries qu'elles engendrent 

 manifestent constamment un caractère quadratique. En effet 

 les coordonnées plùckériennes d'une vrille V (Z,... r) doivent 

 vérifier une relation homogène du second degré, qui est 



Ip -\- viq + nr = G . 



On comprend donc tout de suite qu'on puisse imiter les faits de 

 la Géométrie réglée en substituant des vrilles aux droites. Don- 

 nons d'abord quelques détails, peut-être superflus, sur la mar- 

 che à suivre et sur les résultats de cette comparaison. 



Le système de repère (P^, T) étant choisi d'avance, pre- 

 nons, pour faire symétrie au complexe de droites, la relation 



linéaire 



al + bm + en + dp + eq + fr = (50) 



à coefticients et à variables complexes. 



Les vrilles qui satisfont les relations précédentes sont au 

 nombre de oo", c'est-à-dire deux fois plus nombreuses que les 

 droites d'un complexe. L'hexasérie engendrée de la sorte est 

 une espèce de complexe imaginaire, elle a toutes les propiiétés 

 du complexe ordinaire. 



Par exemple, déterminons deux constantes A et B par les 

 conditions (^) 



A- + B- = a- + h- + c- + d- + e- + f- . 

 AB = ad + be + cf , 



et tirons les valeurs À, -j., v, to, y, p qui vérifient le système 



AÀ + Bco = a , A(o -\- BÀ = d , 



A/u + Bx = b . Ax + Bfc = e , (51) 



Av + B^ = c , Aq + Bv = f . 



Les six paramètres (X,.\. ^) sont les coordonnées d'une certaine 



^) Si on avait A = ± B, on se trouverait dans un cas exceptionne 

 que je ne discute pas ici. 



