ET GÉOMÉTRIE IMAGINAIRE 279 



qui se trouvent aux extrémités d'uue des vrilles normales, vien- 

 nent s'appliquer Tun sur l'autre. 

 Dans les deux invariants distincts (39) et (40), ou 



cos A cos B = U -|- nm t nv -\- pa -\- qx -\- rg = ^IX , 

 sin A sin B = Z« -f- mx -^ nq -\- pX -\- q/uL -|- nv = ^^ Zû> , 



séparons le réel d'avec l'imaginaire, il vient 



cos A' cos B' ch A" ch B" - sin A' sin B' sh A" sh B" 



- V {l'X' - l"Â") , 



cos A' sin B' ch A" sh B" -f- sin A' cos B' sh A" ch B" 



= - y {iT + i"À') , [ 



(55) 

 sin A' sin B' ch A" ch B" - cos A' cos B' sh A" sh B" 



= ^ (^l'oi' _ l"(o") , 



sin A' cos B' ch À" sh B" + cos A' sin B' sh A" ch B" 



Désignons par a, b, c, b les quatre combinaisons qui figurent 

 aux premiers membres des équations précédentes, par a, [3, 7, 5, 

 quatre coefficients réels quelconques ; si la vrille <ï>(X. . . , p) est 

 donnée de position, et que la vrille V (Z, . . .r) soit mobile dans 

 l'espace, il est clair qu'en imposant à cette dernière une condi- 

 tion de la forme 



aa + /Sb + yc + ôî) = , (56) 



le lieu engendré par la vrille V est toujours une heptasérie 

 fondamentale du type (53). 



En outre, tous les éléments de l'heptasérie (56) peuvent être 

 déterminés géométriquement. Ce dernier point résulte du fait 

 que l'équation (56) définit ime des quantités A', A", B', B" 

 en fonction des trois autres. D'ailleurs nous savons construire 

 toutes les vrilles dont les distances conjuguées à une vrille 

 donnée sont connues. 



Reste à savoir si l'équation géométrique (56) donne la défini- 

 tion générale de toîites les heptaséries linéaires, ou bien, si dans 

 l'ensemble de ces dernières, elle ne représente qu'un simple 

 cas particulier. 



