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Voici la marciic du calcul direct : 

 Posons 



I-'l ^ y ^ Q£ 



les équations du mouvement de la planète m sont 



dP- 



_ _ /^f _ 



A'2// 



73 



"^•^' / '2 . '2X I 1 ^ /'•'■'^ 1 ^ 



+ -3(/-'2-2/r 



G' 



'>f (V^ + //-) + 4 ;^(^.')+;i(;---2rr")" 



Multiplions la première par — ij, la seconde par x, et additionnons 

 xij" —ijx" = - 4G2 





Intégrons, et soit k] p la constante des aires : 

 (xij' - i,x') (1 + ^"j =kYp. 



D'ailleurs, le théorème de l'énergie donne 



V /' / /• va 



En coordonnées polaires, ces deux équations s'écrivent 



4G2\ 



4ro+ 



%î{^-'?)--mi:-^ 



kyp 



4 G2\ 2A-2 /.2 



et 



a 



Eliminons dt et résolvons par rapport à f/(p 

 3 G2\ r//- 1 



c/<p= 1 





4 02 



1 



Soit enfin = p = p^ cos^ ^ + /^2 sin^ 6 , 



et 



pa pr r^ r^ 





