42 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GEODESIE ET MECANIQUE 



Ensuite, il continue sa démonstration par des procédés d'analyse infini- 

 tésimale qui exigent la supposition -s- = 1 -f p avec p infiniment petit et 

 par suite ne sont absolument valables que pour la limite s — 1 ; il y a 

 donc déjà une première contradiction puisque, pour cette valeur de s, 

 l'équation (1) est inexacte ou non démontrée. 



Mais voici la plus grave, Dirichlet a admis à plusieurs reprises, que pour 

 la valeur de s choisie dans sa démonstration, on avait log Lo = co , 

 (notamment p. 408 et 411, loc. cit.), je mets intentionnellement oc pour 

 infiniment grand, parce qu'il n'est assigné aucune quantité assez grande 

 que log Lo doive dépasser et qu'il est seulement spécifié : une quantité 

 positive quelconque; or, si l'on a log Lo = oo , on a à beaucoup plus 

 forte raison L» = oo et puisque, par construction Lo < C(s), on a encore 

 à plus forte raison la série Us) = co et non convergente pour la valeur 

 choisie des, il en résulte donc que la démonstration de l'équation (1), basée 

 formellement sur la convergence de ^s), ne s'applique pas pour cette 

 valeur de s et n'est aucunement concluante. 



M. MiURicE FRECHET, 



(Université de Strasbourg) 



SUR UNE NOUVELLE EXTENSION BU THÉORÈME DE BOREL-LEBESGUE 



26 Millet. 



J'avais généralisé le théorème de Borel-Lebesgue au cas d'un ensemble 

 appartenant à une classe oii la limite peut être définie au moyen de ia 

 distance (*). M. R.-L. Moore Ta étendu ensuite au cas où les éléments 

 d'accumulation sont définis par l'intermédaire de la notion de suite 

 convergente et où tout ensemble dérivé est fermé. Il utilise dans ce but 

 une généralisation de la notion d'ensemble compact (**). 



On peut étendre encore une fois, au moyen de cette nouvelle notion, le 

 théorème de Borel-Lebesgue. 



Disons qu'un ensemble E est parfaitement compact en soi si, quelle que 

 soit la suite monotone S de sous-ensembles G de E, il existe un élément 

 de E qui est commun à tous les G ou qui est commun à tous leurs 



(*) Sw la Notion de voisinage dans les ensembles abstraits, par M. Fréchet, Bull. Se. 

 Math.,'2^sév., t. XLII, 1918, p. 1-18. 



(**) On the most gênerai class [L] of Fréchet in which the Heine Borel-Lebesgue 

 theorem holds true; Proceedings o/" i/ie National Academy of Sciences, vol. V, 1919, 

 p. 206-910. 



