44 MATHKMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



de ï. On voïl facilement que les cosinus directeurs de la tangente en T 

 à (T) sont proportionnels à a -f- 1, [3, y. 



On peut d'abord remarquer que ce résultat se traduit par la propriété 

 suivante : 



La tangente en T à la courbe (T) liasse par le point obtenu en portant, 

 sur la tangente en M à (M), vers V origine des arcs, un segment égal à l'arc 

 en M. 



C'est l'extension aux courbes gauches d'un théorème de M. d'Ocagne, 

 en vertu duquel, si l'on porte, à partir des centres de courbure d'une 

 courbe plane, des segments parallèles égaux aux rayons de courbure 

 correspondants, la tangente en un point du lieu obtenu passe par le point 

 correspondant de la courbe plane donnée. 



D'autre part, le calcul des rayons de courbure pi et de torsion x^ de la 

 courbe (T) donne 



Pi = 2 \/iL p 



La courbe (ï) sera donc plane si 



« + ' = (;)- 



relation qui, transformée en tenant compte des égalités (1), devient 



?i (-:)=«■ 



ds 



ou, le cas p = étant écarté, t = a p ; c'est l'équation qui caractérise les 

 hélices. 



Posant enfin 



s/a" + 1 r^ ds 



on trouve 



fl* sin (p — 1 _ a(sin cp -f-'^' _ a cos 9 



Telle est la loi qui détermine, pour chaque position du point M sur une 

 hélice (M), les cosinus directeurs de la direction remarquable que nous 

 envisageons. Le théorème que nous obtenons peut s'énoncer ainsi : 



Une hélice cylindrique étant dminée, il existe une direction fixe parallèle- 

 ment à laquelle on peut mener, à partir de chaque point de la courbe, un 

 segment égal à l'arc en ce point et tel que le lieu des extrémités de ces 

 segments soit une courbe plane. 



Il est d'ailleurs aisé de reconnaître que le plan de cette dernière courbe 

 est perpendiculaire aux génératrices du cylindre. 



