R. GOORMAGHTIGH — COURBES EXPONENTIELLES 45 



M. R. GOORMAGHTICxH 



SUR LA COURBURE DES COURBES EXPONENTIELLES TRIANGULAIRES 



2fi Juillet. 



Dans un système de coordonnées projectives çj, ti, Çj dont Q est le p(Me 

 (1, 1, 1), considérons une courbe exponentielle triangulaire 



«1, aj, a., sont des constantes, e est la base des logaritrimes népériens, 

 n Vindice de la courbe. 



1 



Soient Aj, \^, A3 les sommets du triangle de référence d'aire ^ a', 



^■15 1*2' P-3 l6s coordonnées barycen triques du point (^1, ç^» ^3) de la 

 courbe (1), oj^, w.^, cog celles du pôle Q ; on a donc ^j = — . Si a;,, yi dési- 



gnent les coordonnées cartésiennes des points A; par rapport à la tangente 



1 



et la normale au point M de la courbe (1), où l'arc est s et - la courbure, 



P 

 on aura 



^f*i _ y-i — y s d'^ix^ x.^ — x-i 



3 



ds a- '"" ' ds'^ a-ç ' 



3 3 



<2) Zoi, = ^ IX, -_= 1 . s [^, u-g î/j (y, — y.^y = — î/i 2/2 1/3- 



1 1 



La dérivation de l'équation (1), par rapport à s donne 



<3) S-1 ^/*^i -1-^ = 0, 



coj as 



et l'on voit que 



,(4) 



a,e'"^i (i..^e^^^'i «je^^a 



^3 — Vi _ Vx — y^ yi — ^2 _ ^2 — Vz y^ — ys _ ^3 — 1/1 



W2 0J3 (03 toj toi OJ.^ 



L'équation obtenue en dérivant (3) pourra donc s'écrire, eu égard à (4), 



CI2 \ OJj / \ (O2 (O3 / 



/ y-s — y y _ !/i —yi \} 

 \ ^"'i ^3 ) 



1 ^ x^ — X, ^ y, — y, _ y, — y^ y _ ^ 

 P «'^1 



Cette équation montre que la courbure en un point de la courbe (1) 

 ne dépend que de la direction de la tangente en ce point; par conséquent, 



