E. INAVELLE — REFLEXIONS SUR l'eSPRIT DE SYSTÈME 51 



Si les géomètres n'étaient pas aveuglés par l'esprit de système et par. 

 leurs vieilles croyances métaphysiques ils raettraient plus d'ordre dans leurs 

 concepts et ne chercheraient pas dans l'arithmétique la solution d'un 

 problème de géométrie tel que celui qui consiste à trouver le côté d'un 

 carré ou d'un cube dont on connaît la superficie ou le volume. Ils se sont 

 en effet donné beaucoup de peine pour chercher à extraire, selon leur 

 mauvaise expression métaphorique, la racine carrée, cubique, n'"""'' d'un 

 nombre donné. Il était simple et facile de considérer les deux premières 

 opérations dans l'ordre géométrique ou des abstractions directes et les 

 suivantes dans l'ordre des abstractions dérivées. Ils obtenaient ainsi les 

 formules à appliquer : 



'a = 



V^^"=-\/1^^'"=Vw^^^''=-\/â«'^- 



Il est à peine besoin de faire remarquer que si l'on divise un carré en 

 quatre carrés égaux, ses côtés se trouvent être divisés seulement en deux 

 parties égales; que si l'on partage un cube en huit cubes égaux ses côtés 

 sont partagés de même seulement en deux parties égales. Donc quelque 

 grand que soit le carré ou le cube donné, il sera toujours possible de le 

 réduire à un carré ou à un cube de dimension telle que le nombre expri- 

 mant sa surface ou son volume soit contenu dans des tables dressées ad hoc 

 et ne contenant que les petits carrés ou cubes de 1,01 à o par exemple. 

 On agira de même avec les abstractions dérivées a\ a% a" en ayant soin 

 de construire les tables nécessaires. J'ai calculé ces tables pour les nombres 

 de 1,01 à 5 jusqu'à leur dixième puissance inclusivement. L'épreuve de 

 ces tables et la démonstration de leur utilité sont faciles à faire en opérant 

 sur une puissance dont le nombre initial est connu d'avance. Soit à trouver 

 le nombre dont la cinquième puissance est 100.000. Nous avons successi- 

 vement : 



/inn non . — ■ — ^ /'^ i9^» .. 



t^'ioo.ooo = 2 sJ-^^^ ; \^^-^^ = ^ V^^ *"'' ±v^i.mm. 



Notre table des puissances 5 nous dit que 97.65625 est la cinquième puis- 

 sance de 2,50. Si donc nous multiplions 2,50 autant de fois par 2 que nous 

 avons divisé le nombre donné par 32, soit 2'^ ou 4 nous obtenons 10 dont, 

 en effet, la cinquième puissance est 100.000. Il me semble que cette 

 épreuve est suffisante: mais il faut insister sur la nécessité de traiter les 

 abstractions scientifiquement. Si l'on examine l'équation a-^ -|- 6'' = c^ on 

 voit qu'elle peut appartenir à l'un ou à l'autre des trois ordres d'abstractions 

 selon la valeur donnée à x, et que par suite elle sera possible ou toujours, 

 ou quehjuefois, ou jamais. En eflef dans le cas de œ = 1, il s'agit d'une 

 abstraction directe et elle est toujours possible puisqu'elle représente les 

 fonctions somme et différence. Dans le cas de ic = 2, l'abstraction est 

 encore directe mais elle n'est possible que sous certaine condition; c'est 



