60 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



M. A. GÉRARDIN, 



Correspondant du Ministère de l'instruclion Publique, Nancy. 



1° RÉSULTATS ACQUIS DEPUIS 1912 AVEC LES MACHINES A CONGRUENCES 

 A. GÉRARDIN. — MODÈLE DE DÉMONSTRATION 



681.14 

 27 Jidlle!. 



Depuis 1906, je fais connaître les innombrables questions de la Théorie 

 des Nombres qui peuvent se résoudre par des équations de la forme 



ax^ 4- bx ^ c = y^ (1) 



en nombres entiers. J'emploie des procédés puissants et depuis 1912, mes 

 machines m'ont permis d'allonger de beaucoup les limites d'étude de ces 

 questions. 



J'ai exposé dans les congrès français, anglais et internationaux de 1912, 

 1913, 1914 et 1920, ainsi que dans un grand nombre darticles mes 

 méthodes, et je dirai simplement ici que mes machines ont déjà résolu 

 près de sept inille problèmes. 



Ces équations se rencontrent dans la factorisation des grands nombres, 

 dans beaucoup de questions d'analyse indéterminée, sous une forme diffé- 

 rente dans l'établissement automatique de la liste délînitive des nombres 

 premiers, etc. 



Les résultats obtenus sont surtout intéressants lorsque l'on étudie en 

 série un lot de nombres d'une même forme, par exemple, ou une liste 

 d'inconnues répondant à des conditions différentes faisant partie d'une 

 liste de conditions possibles. J'établis alors sur l'une de mes machines les 

 bandes répondant à ces conditions et les résultats recherchés s'obtiennent 

 à une vitesse de 200 nombres par seconde, lorsque Ton sait utiliser conve- 

 nablement ces instruments de travail, et généraliser les résultats obtenus. 



Ainsi, j'ai trouvé des équations de la forme (1 ) admettant une solution 

 fractionnaire évidente, et qui, par mes procédés donnent immédiatement 

 les solutions entières. 



Exemple : a =r 4/i — 1 , 6=1, 



c = p^ -\- p — |(4/i — I ) n- 4- 4/iw -t- h\ 



où les variables sont p, h, n. J'ai la solution générale de ces problèmes et 

 d'autres connexes : 



4 (4/i _ 1) c 4- 1 = [(8/1 — 2) ^ -L 1]2 _ (Ah — 1) (22/)* 



4 (4/i — 1) n" ^ IQhn -j- {4h -f 1 — 4 R) == ^- 



(4/t — 1) p' 4- (4/i — 1) i» + [h (4R — l) — ]\]=t' 



et de beaucoup d'autres équations, dont j'obtiens les solutions entières, 



positives ou négatives. 



