A. CiÉRARDIiS — FACTEURS d'uN NOMBRE COMPOSÉ 61 



Les 6.000 équations résolues de la forme x'^ ±: if = ± a ou a <C 2.000 

 en valeur absolue et y inférieur à 12.000 représentent 72.000.000 d'opé- 

 rations effectuées à la vitesse indiquée ci-dessus. 



Des équations choisies par les congressistes sont résolues sur place. 



2° MÉTHODE INÉDITE DE DÉCOUVERTE DES FACTEURS D'UN NOMBRE 

 COMPOSÉ DE GRANDEUR QUELCONQUE. — EXEMPLES SIMPLES 



Ed. Lucas a indiqué en 1878-79 dans VAmer. J. Malli. une remarquable 

 méthode permettant de démontrer en un nombre d'opérations fixé à 

 l'avance si un Nombre de Mersenne de la forme M = 2^ — 1 est premier 

 ou composé. Il suffit par exemple étant donné une loi 



Xn + i = OCI — 2 (2) 



et prenant pour Xq l'un des nombres 3, 4 ou 6 suivant la forme de p, de 

 trouver au rang jo un zéro (mod. M) pour que le nombre soit premier; 

 sinon il est composé ; de très intéressants résultats ont été trouvés à l'aide 

 de cette méthode par MM. E. Fauquemhergue et Poivers. 



Mais Lucas ajoutait qu'il n'avait pu trouver de critérium analogue pour 

 avoir les facteurs si le nombre étudié est composé. 



Je suis parvenu, en 1912, à trouver ce critérium simple, qui généralise 

 la belle méthode de Lucas, et qui est applicable à un nombre quelconque. 

 On peut utiliser beaucoup d'autres lois modulaires que celles employées 

 par Lucas, et d'autres nombres initiaux aussi ; mais on ne peut, en général, 

 savoir à l'avance le nombre d'opérations nécessaires. Supposons encore 

 l'étude d'un nombre de Mersenne. S'il est composé, on ne trouve pas de 

 résidu nul, mais je dis que lorsqu'on rencontre un même résidu deux fois 

 (c'est alors un nœud), le nombre est factorisé. 



Exemple : N = 2»' — 1 = 2047 (loi 2) 



.3, 7, 47, 160, 1034, 620, 1609, 1471, 160 (mod. N) 



Les facteurs sont toujours donnés par la différmce des carrés des résidus 

 modulaires qui précédent les nœuds. 



En effet 1471 + 47 =: 1518 = 66 X 23 



1471 — 47 = 1424 — 16 X 89 



J'ai obtenu d'innombrables et curieux résultats. Ainsi, étant donné un 

 nombre composé 2P + 1 , on peut répartir tous les nombres au plus égaux 

 à P, en h arbres géométriques modulaires, suivant une certaine loi {troncs, 

 branches, nœuds). L'un quelconque de ces arbres fournit la solution 

 désirée. 



Les efforts doivent donc maintenant, suivant les formes à étudier, porter 



