62 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



sur les lois à choisir et les nombres initiaux, qui influent sur la longueur 

 de la période. 



Il faut aussi noter, parmi beaucoup d'autres résultats acquis les trois 

 formes suivantes de séries obtenues, qui toutes conduisent à la solution. 



.... a b g L, .... x ij f L, 

 . ... c d k l, .... z-, — L 

 . . . . u w t t t 



Mon procédé modulaire se ramène, en réalité, à la solution en nombres 

 minima de 



àxy N = A^ — a'- 



mais il donne des identités et beaucoup d'intéressants problèmes connexes, 

 des séries innombrables formées de nombres toujours composés et immé- 

 diatement factorisés, etc. 



Y- 



3- MÉTHODE INÉDITE DONNANT LA SOLUTION MINIMA DE 



x^ — Ay^ = ±l,±ï) (3), 



ET ÉQUATIONS ANALOGUES 



Lorsqu'on a obtenu une solution d'une question, on les obtient toutes 

 dans certains cas à l'aide de la solution minima de (3) : mais si l'on connaît 

 les fables de Legendre (A inférieur à 1003), Bkkmore (de 1.000 à 1.500), 

 Ty/Mf/brc? (de l.oOO à 1.700) (ces dernières, en 1912, avec bibliographie 

 complète de 300 auteurs, surtout à laide des fractions continues), on est 

 dans le cas général en présence de calculs inextricables et parfois 

 fastidieux. 



J'ai annoncé, en 1917, ma méthode, dans Y Enseignement Mathématique 

 et dans V Intermédiaire des Mathématiciens. Elle est simple et féconde; 

 basée sur l'étude des équations doubles, elle s'étudie facilement aussi à 

 l'aide de mes machines à congruences, qui en donnent des séries infinies, 

 dont quelques-unes sont montrées à la Section. 



Je compte publier mes résultats jusqu'à 3.000, mais je ne puis indiquer 

 ici, même en un bref résumé, mon procédé utilisant les formes et les 

 congruences. Je dirai simplement que parfois une inconnue auxiliaire très 

 petite conduit à des nombres extrêmement grands. 



Ces trois méthodes juxtaposées, employées simultanément avec une 

 de mes machines, et avec des généralisations ultérieures, fournissent 

 actuellement la méthode de travail la plus précieuse et la plus rapide pour 

 les recherches difhciles en nombres entiers, positifs ou négatifs, de sujets 

 quelconques de la Théorie des Nombres. 



