64 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



l'on a besoin de connaître comment se comporte la fonction R et ses 

 dérivées partielles premières lorsque le point iz, p) est dans le voisinage 

 immédiat du point iz'. p'). 



Pour résoudre ce problème, M. Weingarten se sert d'une formule qu'il 

 emprunte à Riemann (Riemann-HaUendorf : Schicere, ElektricUat und 

 Magnetismus, I"^ partie, § 17j, en regardant la fonction R comme le poten- 

 tiel d'un cercle de rayon p' recouvert d'une masse attirante de densité 



linéaire ^^^ pour le point {z. o) situé dans celui des plans méridiens 







pour lequel ç> est nul. 

 Il obtient ainsi la formule : 



R(z — z', p,p') = =;log-+%. 



9 ' 



avec r =\/{z — z')- -f (g — p')-, g étant une fonction des arguments 

 s, p, z' p' restant finie et continue même pour ^ = 5', p = p' et il pour- 

 suit le calcul en admettant que les parties des intégrales provenant de g 

 sont négligeables devant celles fournies par le terme principal. 



Le procédé de calcul habituellement employé consiste au contraire à se 

 servir de la théorie des fonctions elliptiques pour trouver un développe- 

 ment limité de la fonction R. Cette méthode conduit à poser : 



2 1 



R (z — z', 0, 0') = -= log - + 2 y. 



1/ G 

 V i k 



la fonction y étant elle-même finie et continue pour ^ = :;', = p'. 



Il est facile de voir du reste que la différence des valeurs de ces deux 

 fonctions g et y reste limitée et même tend vers zéro quand /• devient très 

 petit; en effet, en posant p = p' 4- r cos 6, ^ = j' 4- r sin 0, on a : 



cos 6 

 Q — V = = =- r log /• 



• f' v'f (vV + v'p) 



expression qui, quel que soit 9, tend évidemment vers zéro avec r. 



og S y 

 On vérifie de même innnédiatement que la diflérence ;; conserve 



6 y ùZ 



elle aussi une valeur finie dans les mêmes conditions. 

 Mais il n'en est plus ainsi de la différence des dérivées par rapport à p : 



09 Sy 1 , , cos- 



■^ ' — log r 4- 



^? '' 2pv/pp' ^ p'/p (v/p' + v/?) ' 



1 

 Cette différence se comporte comme ;^- log r pour les petites valeurs de r. 



'"9 ' 



C'est précisément dans ce fait que se trouve la divergence observée, les 

 deux valeurs asymptotiques ne pouvant pas toutes deux constituer une 

 bonne approximation pour la suite des calculs. 



Or il est facile de montrer que la fonction y a ses dérivées partielles 

 premières finies pour r = et que par conséquent c'est l'application de 



