R. THIRY THÉOUIE DES TOURBILLONS » 00 



la formule de Riemann qui, dans les conditions présentes, conduit à une 

 approximation défectueuse. 



En effet, en posant k' = ttt-t^t — ; — ^ ^n met R sous la forme : 



E et K désignant les intégrales elliptiques connues (cf. Kirchhoff, loc. cit.), 



rfcp 



- / v/ï 



•/o 



E — I v/1 — A* sin- 9,^9, 



\J\. — /i- sin- cp 

 Le module complémentaire k' est alors donné par la formule : 



(5 - z'f + (p - pr 



/£'» = 1 — /.-^ 



(.. - z'Y 4- (p + ?'f 



7' 



il est de l'ordre de ^r-, quand r est petit. 



2p 



Il est alors facile en se servant de développements connus (cf. p. ex. : 

 Tannery et Molk, formules CXXII,i), de mettre R sous la forme : 



2 , k' 



R = T^'^H + 



les termes non écrits étant, soit des puissances positives entières de k\ 

 soit des termes de la forme k"-p log k'. 



En remarquant que ;; — et ^; — restent finis, on conclut tout de suite que 



os p 



les termes non écrits donnent dans R et ses dérivées partielles premières 



une contribution négligeable lorsque r est très petit. 



Cette remarque étant faite, la suite des calculs de M. Weingarten 



s'effectue sans modifications sensibles. On tiouve pour la fonction de 



coui:ant introduite la valeur : 



m ,— l , a , \ c'- — (o — ay — {z — by , , ) 

 a> =3 - y/ap j log - + -^ ^^ L — ^ L + /, j 



et pour l'expression asymptolique de la vitesse de translation de l'anneau 



infiniment mince : 



m , 8a 



»^'=.5 — log — 



za-K c 



{a désignant la valeur de p au centre du cercle méridien), c'est-à-dire pré- 

 cisément la valeur indiquée par les auteurs anglais. 



Quant à la partie la plus importante du jnémoire de M. Weingarten. 

 celle où il montre que la pression dans un tel mouvement peut dépasser 

 toute valeur négative donnée à l'avance, et que par suite il y a lieu 

 d'émettre des restrictions sur la possibilité physique de la naissance de 

 tels tourbillons annulaires, elle subsiste entièrement avec le développe- 

 ment rectifié que j'ai mentionné plus haut pour la fonction R. 



