E. LITRE — DÉMONSTRATION DIUECTE DE LA LOI DES AIRES • 67 



illimité, dont notre œil est le centre : quel que soit le rayon que l'on 

 suppose, un déplaceinent sphérique selon un grand cercle sera, étant 

 vu du centre, rigoureusement plan; il ne déviera ni à gauche, ni à droite, 

 et pourra nous apparaître recliligne. Mais tout déplacement selon un petit 

 cercle sera la base d'un cône et paraîtra nécessairement curviligne, ayant 

 une courbure dans un sens déterminé : et, comme tel, il est décoinposable 

 en éléments intîniment petits selon de grands cercles. 



Joignons donc nos points M^ et Mj, Mj et M.^ par des arcs de grand 

 cercle : en général MiM^ difîérera en longueur de M„M, et sa direction 

 sera difTérente. Que si la direction était la même, soit en M, M', le mou- 

 vement s'effectuerait sur un grand cercle. Quand les deux éléments 

 successifs forment un angle, nous dirons que le mouvement est dévié et 

 nous désignerons par s l'angle M' M, M.,. Si le mouvement du point M est 

 continu, la longueur MiM^ diffère infiniment peu de MoMi et l'angle s est 

 infiniment petit. 



3. — Supposons, en premier lieu, qu'aucune action nouvelle fi intervient 

 pendant le double intervalle to-t^, le solide, auquel appartient le point M, 

 restant livré a lui-même, sons la seule iufluence des actions auxquelles il a 

 été souinis jusqu'à l'instant tg et des liaisons qui rendent ce solide invariable. 

 Il est clair que, dans ces conditions, le mouvement du point M sera 

 nécessairement continu. 



Le cas le plus général est qu'il sera dévié. Portons .sur le prolongement 

 de MqMi une longueur égale, iMjM', et joignons M'M.^ par un arc de 

 grand cercle. L'angle s étant infiniment petit, la longueur de M'IVI^ est 

 un infiniment petit du deuxième ordre. 



Nous pouvons, pendant l'intervalle A ^,, substituer à l'élément infini- 

 ment petit, MiM.^, le parcours MiM'M., qui ne peut en différer que par 

 un infiniment petit du deuxième ordre, ou pendant l'intervalle entier ^o-^^, 

 le parcours M^MM.^ au trajet réel M(,M,i\l2. Ce sera comme si le mobile 

 effectuait il" un déplacement uniforme dans la direction acquise à l'ins- 

 tant /„, et 2° un déplacement de déviation, les deux déplacements s'opé- 

 rant sur des grands cercles. 



Soit oj la vitesse angulaire du premier dans son plan : une accélération 

 centripète s'applique de ce chef au point Mi égale à oj^U ; soit w' la 

 vitesse angulaire du second : l'accélération angulaire appliquée de ce chef 

 au point M est o/-H, Ces deux accélérations représenlent pour le point 

 toutes les conditions de liaison ou de mouvement auxquelles il est soumis. 

 On peut supposer ces accélérations appliquées, Tune et l'autre, au point 

 Mj, milieu du trajet infiniment petit; elles sont dirigées toutes les deux 

 vers le point G : elles se superposent donc et s'ajoutent toujours positi- 

 vement. L'accélération totale est donc (O)^ -f- to^j R. L'accélération du 

 mouvement dévié est plus grande que celle du mouvement sur un grand 

 cercle, mais la différence n'est qu'infiniment petite. 



