72 MATHÉMATIQUES. ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



Il est équivalent au système : 



X X 



y 



tant que : 



et peut alors s'écrire : 



a II 

 c d 



7^0, 



x = s{xy), 

 y = tixy). 



Par la méthode des approximations successives, recherchons des valeurs 

 approchées de la solution Ix^y^), de ce système. Soit (a;,?/,) la valeur 

 approchée initiale, et (x^^y^) la valeur suivante. On a : 



j •'To = s{Xoy^) . ■ 



I î/o = ^(«"oî/o), 

 \ X., = s{Xii/i) 



d'où : 



•^2 — -f'o = «(^i2/i) — s(x„yo) = {Xy — Xa) X s'ALfi,) 

 -^ {y, — I/o) XSyÇçsyis), 



y-i — yo = ^(a^i^i) — ii^oUo) = (^i — *o) ; X /x(^«'i<) 



+ (//i — 2/fl) ■■' ÇXt-rit), 



OÙ Çs et ;, sont des valeurs comprises entre Xo et a-,, et ri,, et r,j des valeurs 

 comprises entre ?/o et y,. 

 Par suite : 



a^.. 



*/^ii 



?/2 — !/0 I 



Xi Xf^ I z^., I .Nj. I ~î~ I ?/l ?/o 



a;, — X, I ;/ Mx I + I î/i — ?/o 





!/ I ' 



/ 



'; 



Donc, si [A, est le plus grand des deux modules \Xi — x^\ ei \yi — yo\; 

 si M est la plus grande des valeurs desmodules! s!,,\,\Sy\,\ t'. |x et | /^ |, pour 

 ic — a;o I < [i., et I y — î/o I < M-, ; 1^2. le plus grand des deux modules 

 I x^ — J'o I et 1 ;)/2 — 2/0 K sera tel que : 



'x.. 



2îx,M. 



En conséquence, lorsque 2 M = r < l, en passant de {x^y.,) à ix^y.,) 

 comme on est passé de {Xiy^\ à {x^y.,),. et ainsi de suite, on est conduit 

 successivement aux inégalités suivantes : 





'n 



rV, 



f^i. 



qui montrent que a„ tend vers zéro lorsque n augmente indétiniment; 



