H. TRIPIER — RESOLUTION DES EQUATIONS NUMÉRIQUES lô 



aiilrement dit, les valeurs approcliées successives convergent progressive- 

 ment vers la solution considérée, et cela d'autant plus rapidement que la 



valeur M est plus faible. 



1 

 IMaçons-nous dans le cas où l'on n'a pas M-< -, pour ixy) sulTisain - 



ù 



ment voisin de (^„//o). Méprenons alors Pidée indiquée pour le cas où il 

 n'était question que dune seule inconmie et où la méthode tombait en 

 défaut. Cette idée conduit à remplacer ici le système donné, 



Pour l'application d«' la inétlio'le, ce nouveau système sera mis sous la 

 forme : " 



j ic — (I — A-,) X X -+- A", sixy) -j- kj(xy) — /...y = u{xy), 

 l y = ti-A-^-y) — fiy'c + kjixy) + (1 — k^)y = vixy). 



Le succès sera assuré si les valeurs A^, A^, A^ et A\ sont telles que : 



1 1 11 



uniformément, pour ixy) suflisamment voisin de ui\,y^); ii s'agil là d'une 

 condition simplement suffisante. 



Voyons qu'il sera [tossible de déterminer pour les k des valeurs cons- 

 tantes avec lesquelles cette condition sera satisfiiite, lorsque les quatre 

 dérivées partielles seront des fonctions continues de x et de y, le point 

 (xy) évoluant à l'intérieur d'un doinaine fini, continu et comprenant cer- 

 tainement le point iXpyo). 



Les A- étant des constantes, on aura : 



y; =M + ^./; -k, = k,si ^ A-,(/; - 1 1. 



v'„ ^- k,s;^^k, {tu -i)-^i. 



Soient m, n. j) et (j les valeurs respectives de {s[ — 1 ), ?^, s,^ et (ty — 1), 

 en un point certainement voisin de (a\,î/oJ, appartenant au domaine de conti- 

 nuité dont l'existence a été admise, et tel que : 



m n I , 

 p q\^ 



